Назначаване. Линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n

x 1 a 1 + ... + x n a n.

тривиалнотака че всички коефициенти x 1 , ..., x n са равни на нула.

Назначаване. Извиква се линейна комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n нетривиален, Ако само един от коефициентите x 1, ..., x n не е равен на нула.

линейно независими, така че няма нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Така че векторите a 1 , ..., a n са линейно независими като x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 или повече, ако x 1 = 0, ..., x n = 0.

Назначаване. Векторите a 1 , ..., a n се наричат линеен угар yakscho іsnuє нетривиална комбинация от tsikh vector_v do_vnyuє нулев вектор.

Доминиране на линейни угарни вектори:

За 2 и 3 световни вектора.

Два линейни угарни вектора - колинеарни. (Колинеарни вектори - линейни отлагания.) .

За три мирни вектора.

Три линейни угарни вектора - компланарни. (Три компланарни вектора - линейни отлагания.)

• За n-ти вектори.

  n + 1 вектор на линейни отлагания.

Приложете задачата към линейната независимост и линейната независимост на векторите:

Пример 1. Обърнете векторите a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) са линейно независими.

Решение:

Векторите ще бъдат линейно угари, мащабиращите вектори ще бъдат по-малки за броя на векторите.

Пример 2. Обратните вектори a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) са линейно независими.

Решение:

от първия ред се вижда друг; до третия ред добавяме друго:

Това решение показва, че системата може да направи безлично решение, така че да има ненулева комбинация от стойностите на числа x 1 , x 2 x 3, така че линейна комбинация от вектори a , b , c е равна на нулевият вектор, например:

A + b + c = 0

a tse означава, че векторите a, b, c са линейни отлагания.

Внушение:векторите a, b, c са линейно угари.

Пример 3. Обратните вектори a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) са линейно независими.

Решение:Знаем стойността на коефициентите за всяка линейна комбинация от тези вектори в нулевия вектор.

Tse векторното подравняване може да бъде записано във визуалната система от линейни подравнявания

Проверяваме використичната система по метода на Гаус

от друг ред се вижда първият; от третия ред виждаме първия:

от първия ред се вижда друг; до третия ред добавяме друг.

Векторната система се нарича линеен угар, така че да се използват тези числа, средата на които, ако човек иска да види нула, което изравнява https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" >.

Как може равнодушието да спечели само в този случай, ако всичко, тогава системата от вектори се нарича линейно независими.

Теорема.Векторната система ще бъде линеен угартака или иначе, ако искате един от її векторите в линейна комбинация от други.

пример 1.Богат член е линейна комбинация от богати сегменти. Богатите термини събират линейно независима система, така че като богат термин https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

дупе 2.Матрична система , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> по този начин, ако https://pandia.ru/text /78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" height=" 21"> линеен угар.

Решение.

Ние съхраняваме линейна комбинация от тези вектори https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

При едни и същи координати на равни вектори вземаме ширина = "289" височина = "69">

Остатъчна

і

Системата може да има едно тривиално решение, така че линейната комбинация от тези вектори е по-вероятно да достигне нула, ако всички коефициенти са равни на нула. Следователно векторната система е линейно независима.

Пример 4.Векторите са линейно независими. Какви ще бъдат системите от вектори

а).;

б).?

Решение.

а).Добавяме линейна комбинация и я приравняваме на нула

Използвайки силата на операциите с вектори в линейното пространство, ще пренапишем останалата еквивалентност на визуалното

Тъй като векторите са линейно независими, тогава коефициентите на вина са равни на нула, така че .

Системата на Отриман е равна, има само едно тривиално решение .

Oskіlki rivnіst (*) vikonuetsya само при линейни независими;

б).Съхранение на равенства https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Zastosovuyuchi аналогично mirkuvannya, otrimaєmo

Virishyuchi системата за изравняване по метода на Гаус, е необходимо

или

Останалата част от системата е безлично решение https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. ревността побеждава (**) . Татко, система от вектори - Линеен угар.

дупе 5Векторната система е линейно независима, а векторната система е линейно независима. gif (***)

При ревност (***) . Всъщност системата беше линейно угара.

Zі spіvіdnoshennia (***) приемливо или Значително .

За вкъщи

Задача за независима визия (в аудиторията)

1. Системата, която отмъщава за нулевия вектор, е линейно угар.

2. Система, която се състои от един вектор а, линейно угар дори и по-малко тогава, ако, a=0.

3. Системата, която се състои от два вектора, е линейно четна и само ако векторите са пропорционални (така че един от тях излиза от най-малкото умножение по числото).

4. Ако добавите вектор към системата с линейни угари, тогава ще видите системата с линейни угари.

5. Както от линейно независима система, векторът може да се види, системата от вектори е линейно независима.

6. Yakscho система Слинейно независим, но става линейно угар при добавяне на вектор б, след това векторът блинейно се огъва през векторите на системата С.

° С).Системата от матрици има различен ред за матриците.

10. Нека системата от вектори а,б,° СВекторното пространство е линейно независимо. За да осигурите линейна независимост на офанзивните векторни системи:

а).а+б, б, в.

б).а+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–достатъчно брой

° С).а+b, a+c, b+c.

11. Хайде а,б,° С- три вектора върху плоскостта, сред тях можете да сгънете трикутник. Ще бъдат ли чи векторите линейно угари?

12. Дадени са два вектора a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Изберете още два вектора на chotirivimir a3 иа4така че, шоб система а1,а2,а3,а4 bula линейно независима .

Линейна независимост и линейна независимост на векторите.
Векторни бази. Атинска координатна система

В аудиторията има много шоколадови бонбони, а няколко женско биле ще могат да се измъкнат от кожата днес - аналитична геометрия с линейна алгебра. В тази статия ще бъдат унищожени две дивизии на висшата математика и се чудим как смрадите свикват с едно изгоряло място. Почивай си, s'zh "Tviks"! ... бебе, добре, супер малко момиченце. Ако искам, няма да вкарам, съжалявам, мога да имам положително настроение за тренировка.

Линейна угара на вектори, линейна независимост на векторите, векторна основатози термин може да бъде не само геометрична интерпретация, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие за "вектор" от гледна точка на линейната алгебра далеч не е същото като "по-висшия" вектор, който можем да представим на равнина или в пространството. Не е нужно да отивате далеч за доказателство, опитайте се да нарисувате вектора на пространството на петте свята. . Або просто чакай, за някои отидох в Gіsmeteo: - температурата и атмосферното налягане са добри. Прикладът, очевидно, не е правилен от гледна точка на авторитета на векторното пространство, но нищо не пречи на формализирането на данните от параметрите и вектора. Дъх на есента.

Здравейте, няма да се опитвам да ви изкушавам с теория, линейни векторни пространства, проблемът е, че разбирамопределението на тази теорема. Новите термини (линеен депозит, независимост, линейна комбинация, основа и т.н.) са прилагателни към всички вектори от гледна точка на алгебрата, но приложението ще бъде дадено геометрично. В този ранг всичко е просто, достъпно е от пръв поглед. Крим завдан аналитичната геометрия се разглежда като типична задача на алгебрата. За да овладеете материала, е необходимо да се учите от уроците Вектори за чайнициі Как да броим?

Линеен угар и независимост на вектора в равнината.
Площна основа и афинитетна координатна система

Нека да разгледаме площта на компютърната маса (само маса, нощни шкафчета, подложки, стели, каквото ви подхожда). Задачите са по-уважителни към такива дейности:

1) Изберете база на площ. Приблизително kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina і ширина, беше интуитивно осъзнато, че са необходими два вектора за стимулиране на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са зайва.

2) Въз основа на избраната основа задайте координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти, които са на масата.

Не се учудвайте, че първото обяснение ще бъде на пръстите. Дотогава на твоя. Бъди мил, прости изразителен пръст на лявата ръкадо ръба на стила, така че да се чудя на монитора. Tse ще бъде вектор. Сега място малкия пръст на дясната ръкана ръба на масата просто така - schob buv изправяне на екрана на монитора. Tse ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш прекрасно! Какво можете да кажете за векторите? Вектори на данни kolіnearni, което означава линейнообърнете едно през едно:
, добре, abo navpaki: , de - deake номер, vіdmіnne vіd нула.

Картината на кое действие може да бъде разгледана в урока Вектори за чайници De обясних правилото за умножение на вектор по число.

Чи ще поставят ли пръстите ви основата върху повърхността на компютърната маса? Очевидно не. Kolіnearnі вектори и повишаване на цената тук и там самправо напред и зоната може да е по-дълга и по-широка.

Такива вектори се наричат линеен угар.

заключение: Думите "линеен", "линеен" означават онези неща, които имат математически равни, няма квадрати, кубове, други стъпки, логаритми, синуси. Є tіlki linіynі (1-ви етап) срещу угара.

Два вектора и плоски линейни депозититогава и само тогава, ако вонята е колинеарна.

Скръстете пръсти на масата, така че между тях да сте като разрез на Крим 0 или 180 градуса. Два вектора и плоскилинейно неугар в това и само това падане, сякаш вонята не е колинеарна. Отже, основата се отнема. Не е нужно да се притеснявате от факта, че основата на изгледите е "окосена" с неперпендикулярни вектори с различна дължина. За мен не е необичайно, че при йога придатъкът е не само 90 градуса, а не само единичен, равен на стария вектор.

Бе-якиплосък вектор един рангразширено според основата:
, De - dіysnі числа. Обадете се на номера векторни координатина каква основа.

Така че изглежда така векторизпълнения на гледката линейна комбинациябазисни вектори. Тобто вираз се нарича векторно оформлениеосноваили линейна комбинациябазови вектори.

Например, може да се каже, че векторът на разширенията на ортонормираната основа на равнината, или може да се каже, че представянето на визуално линейна комбинация от вектори.

Формулирайте присвояване на основатаформално: Основата на районадвойка линейно независими (неколинеарни) вектори се нарича, , при което Бъди катоРавнинният вектор е линейна комбинация от основни вектори.

Самият момент на назначаване е фактът, че векторите са взети в реда на песните. Базизи - има две абсолютно различни бази! Както изглежда, малкият пръст на лявата ръка не може да бъде преместен до малкия пръст на дясната ръка.

Разработихме основата, но все още не е достатъчно да зададете координатната мрежа и да зададете координатите на обекта на кожата на вашата компютърна таблица. защо пропусна? Векторите са свободни и размазани в цялата равнина. Тогава как да привлечем координатите към тези малки блуждаещи точки на масата, изгубени след бурния уикенд? Имаме нужда от насока. І такъв ориентир е известна точка на всички - кочана на координатите. Избира се от координатната система:

Започнете със системата "училище". Още на встъпителния урок Вектори за чайнициВидях действията за разпознаване между правоъгълна координатна система и ортонормирана основа. Стандартна картина на ос:

Когато говорим за правоъгълна координатна система, тогава най-често се използва кочана на координатите, координатната ос и мащаба по осите. Опитайте да напишете в системата за търсене „правоъгълна координатна система“ и ще кажете, че ще ви разкажат много за познанията за 5-6 клас на координатната ос и за това как да поставяте точки в равнината.

От друга страна, има ефект, че правоъгълната координатна система може да бъде определена като цяло чрез ортонормирана основа. І це майже така. Формулата звучи така:

кочан от координати, і ортонормализациязадайте основата Декартова правоъгълна координатна система на равнината . Това е правоъгълна координатна система определеноса представени от една точка и два единични ортогонални вектора. По същата причина се нуждаете от столове, както съм внушавал в миналото - в геометричните задачи често (макар и далеч от постоянни) те рисуват както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всички разбраха, че за допълнителна точка (кочан от координати), която е ортонормирана към основата БЪДИ ТОЧКА ОТ ПЛОЩ И БЪДИ ВЕКТОР НА ПЛОЩможете да зададете координати. Образно, очевидно, „всичко може да бъде номерирано на повърхността“.

Могат ли координатните вектори да бъдат единични? Nі, воня може майка dovіlnu не нула dovzhina. Нека да разгледаме точката и два ортогонални вектора и сравнително различни от нула стойности:

Такава основа се нарича ортогонална. Кочанът от координати с вектори задава координатната мрежа и било то точка от равнината, било то вектор, който да записва координатите си в тази основа. Например, или. Очевидна некомпетентност във факта, че координатните вектори на върха на хълмаскърбят различни животи, vіdminnі vіd odinitsі. Щом самотата е равна, тогава излиза първичната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, а също и по-ниско в атинските бази, се вземат предвид равнините и пространството на една по осите УМОВИМИ. Например в една единица по оста на абсцисата има 4 cm, в една единица по оста на ординатата 2 cm.

И друга храна, на як, това наистина е дадено доказателство - какво obov'yazykovo kut между основните вектори може да достигне 90 градуса? Здравейте! Как да потвърдите назначение, основни вектори и такси по-малко от колинеарно. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 и 180 градуса.

Точката на самолета, както се нарича кочан от координати, і неколинеарнивектори , , комплект афинна координатна система на равнината :

С други думи, такава координатна система се нарича сплетенисистема. Как да приложите точки и вектори върху изображението на фотьойла:

Както знаете, атинската координатна система е по-малко лесна, те не използват формулите за вектори и vdrіzkiv, както разгледахме другата част на урока Вектори за чайници, богато пикантни формули, pov'yazanі z скаларно създаване на вектори. След това има справедливи правила за сгъване на вектор и умножение на вектор по число, формули за подразделяне на даден израз, а също и за премахване на типове задачи, които лесно можем да разгледаме.

А висновокът е такъв, че е най-удобният начин да се нарече точката от атинската координатна система - декартовата правоъгълна система. За това й предпочитам, най-често и да ме водят на бачити. ... Междувременно всичко в този живот е ясно - има малко ситуации, в които самата река е изкривена (иначе напр. полярни) координатна система. Тези хуманоиди могат да се радват на такива системи =)

Да преминем към практическата част. Usі zavdannya този урок е точно като правоъгълна координатна система, така zagalnogo атински vpadku. Няма нищо сгъваемо, целият материал е достъпен за ученика.

Как да определим колинеарността на вектор в равнина?

Типична река. За да има два вектора и области да бъдат колинеарни, необходими и достатъчни, така че съответните им координати да са пропорционални. Всъщност това е координатното детайлизиране на очевидната spivvіdnoshenya.

дупе 1

а) Обратни, хи колинеарни вектори .
б) Чи установява основата на вектора ?

Решение:
а) Защо, какво е валидно за векторите коефициент на пропорционалност, така че равенствата са победени:

Obov'yazkovo rozpovіm за "pіzhonskiy" вариант на zastosuvannya tsgogo правила, който се разпространява в практиката. Идеята се крие във факта, че веднага ще съберете пропорцията и ще се чудите дали ще сте прави:

Нека добавим пропорцията на дадените координати на векторите:

скоро:
, в този ред съответните координати са пропорционални,

Настройката може да се сгъва и сгъва, ценна опция:

За самопроверка можете да измъкнете тези, които са колинеарни вектори и да огънете линейно един през един. От тази гледна точка има място за еквивалентност . Вашата справедливост лесно се изкривява чрез елементарни деления с вектори:

б) Два вектора и равнини образуват основа, така че те не са колинеарни (линейно независими). Doslіdzhuєmo на kolіnearnіst вектори . Нека изградим системата:

От първия равен крещиш, шо, от другия равен крещиш, о, системата е луда(Няма решение). По този начин съответните координати на векторите не са пропорционални.

Висновок: вектори и линейно независими и отговарят на основата

Опростената версия на решението изглежда така:

Събираме пропорцията на дадените координати на векторите :
Освен това тези вектори са линейно независими и образуват основа.

Извикайте тази опция, за да отхвърлите рецензентите, но обвинявайте за проблема точките, ако координатите са равни на нула. ос като тази: . Або така: . Або така: . Как мога да работя тук чрез пропорция? (Наистина, не можете да разделите на нула). По същата причина нарекох по-простото решение „пижонски“.

Внушение:а), б) одобрява.

Малък творчески пример за независима визия:

дупе 2

За всяка стойност на векторния параметър ще бъде колинеарен?

За решение параметърът се намира чрез пропорция.

Използваме метода на алгебрата за повторна проверка на векторите за колинеарност.

За два вектора в областта на еквивалентна твърдост:

2) вектори и установяване на база;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) осцилатор, сгъва от координатите на тези вектори, vіdminny vіd нула.

Видповидно, еквивалентна твърдост на крака:
1) векторни и линейни отлагания;
2) векторите не удовлетворяват основата;
3) вектори и колинеари;
4) векторите могат да бъдат линейно обърнати един през един;
+ 5) вектор, сгъващ се от координатите на тези вектори, водещ до нула.

Все повече се убеждавам, че в този момент вече сте разбрали всички термини и твърдения, които сте научили.

Нека да разгледаме новия доклад, пети параграф: два вектора и области kolіnearnі thodі і tіlki tіlki todі, ако vyznachnik, се сгъва от координатите на тези vector_v, do_vnyuє нула:. За zastosuvannya tsієї признаци, очевидно, е необходимо да се помни познайте визионерите.

ВиришимаПример 1 по различен начин:

а) Изчисляване на броя на цифрите, събирания от координатите на векторите :
, също, q вектори и колинеари.

б) Два вектора и равнини образуват основа, така че те не са колинеарни (линейно независими). Изчисляване на броя на гънките от координатите на векторите :
Също така векторите са линейно независими и установяват база.

Внушение:а), б) одобрява.

Изглежда значително по-компактен и привлекателен, по-ниска разделителна способност с пропорции.

С помощта на изследвания материал е възможно да се установи колинеарността на векторите, както и да се приведе паралелизъм на vdrіzkіv, прави линии. Нека да разгледаме няколко задачи от конкретни геометрични фигури.

дупе 3

Предвид върховете на чотирикутника. Донесете, че chotirikutnik е паралелограм.

доказателство: Кресло в задачата няма да е необходимо, парчетата от решението ще бъдат чисто аналитични
паралелограм нарича се чотирикутник, който има противоположни страни по двойки успоредни.

В този ред е необходимо да се донесат:
1) успоредност на противоположните страни;
2) паралелизъм на противоположните страни.

Ние носим:

1) Знаем векторите:

2) Знаем вектори:

Вийшов е един и същ вектор („според училище“ - равни вектори). Kolіnearnіst вече е очевиден, но е по-добре да подредите правилно решението, с подредбата. Нека изчислим броя на добавките от координатите на векторите:
, Otzhe, дадени вектори и колинеари, i .

Висновок: Protilezhnі страни chotirikutnik по двойки успоредни, otzhe, vіn є паралелограм за обозначения Какво беше необходимо да донеса.

Още фигури на добрите:

дупе 4

Предвид върховете на чотирикутника. За да донесе, scho chotirikutnik є trapezієyu.

За една суворична формула, докажете я по-красиво, великолепно, начертайте обозначението на трапеца и просто го допълнете и просто отгатнете, сякаш гледате навън.

Tse zavdannya независимо решение. Външно решение като урок.

И сега дойде времето бавно да преминем от апартамента към откритото:

Как да обозначим колинеарността на вектора в пространството?

Правилото е подобно. За да са колинеарни два вектора към пространството, е необходимо и достатъчно, така че съответните им координати да са пропорционални.

дупе 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі ще напредва вектори и пространство:

а);
б)
в)

Решение:
а) Обратимо, chi е коефициентът на пропорционалност за различни координати на вектори:

Системата не може да бъде разрешена, следователно векторите не са колинеарни.

"Sproschenka" се оформя чрез повторно пропорция. В този изглед:
– относителните координати не са пропорционални, следователно векторите не са колинеарни.

Внушение:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точките на независимо решение. Опитайте се да украсите йога по два начина.

Използвайте метода за повторна проверка на космическите вектори за колинеарност чрез променливата от трети порядък Вектор vitvir vector_v.

Подобно на плосък вапад, погледът на инструментите може да бъде фиксиран, за да се поддържа паралелизъм на отворените пространства и правите линии.

Молим Ви любезно в друг отдел:

Линейната застояла и независимост са вектори в тривимерното пространство.
Просторна основа и афинитетна координатна система

Много закони, както видяхме на площада, ще бъдат справедливи и просторни. Опитах се да минимизирам синопсиса на теорията, парчетата от лявата част на информацията вече са дешифрирани. Тим е не по-малко, препоръчвам да прочетете уводната част с уважение, парчетата са нови термини и разберете.

Сега подмяната на площта на компютърната маса е разширена до триизмерно пространство. Нека създадем йога основа. Кой знае в даден момент в къщата, кой е по улиците, но в същото време не можем да отидем никъде в трите свята: ширината, дължината и височината. Следователно, за да се индуцира основата, са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртините са зайви.

Отново съм rozminaєmos на пръстите. Бъдете мили, вдигнете ръката си нагоре и отворете страните си страхотен, впечатляващ и среден пръст. Це ще бъдат преносители, смрадите ще се чудят от различни страни, ще оплакват различни дожини и ще скърбят различни кути помежду си. Витаю, основата на тривимирската шир е готова! По същество не е необходимо да демонстрирате такива викладачи, като не си извивайте пръстите, но не можете да отидете никъде =)

Нека сложим важно хранене, бъде като три вектора и удовлетворява основата на триви-световното пространство? Бъдете любезни, притиснете здраво три пръста към компютърното бюро. Какво стана? Три вектора се движеха в една и съща равнина и очевидно имаме един признак на вимирив - височина. Такива вектори компланаренИ, очевидно, човек не може да създаде пространство като тривум за основа.

Трябва да се отбележи, че компланарните вектори и нищо лошо лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (само се опитайте да работите с пръсти, така че Салвадор Дали ще се навие по-малко =)).

Назначаване: векторите са наименувани компланаренкато истински апартамент, като паралелна воня. Тук е логично да добавим, че ако няма такава област, тогава векторите няма да са компланарни.

Три компланарни вектора и линейни отлагания tobto линейно vrazhayutsya едно през едно. За простота отново ще забележа, че вонята се крие в един апартамент. Първо, векторите, и не само това, те са компланарни, те могат да бъдат по-колинеарни, дори ако векторът може да се види през вектор. По друг начин, например, векторите не са колинеарни, тогава третият вектор преминава през тях в един ред: (и защо е лесно да се отгатне за материалите от предишното разделение).

Справедливо е връщането на твърдението: три некомпланарни вектора и линейно независими вектори, tobto вече n_yak не vrazhayutsya едно през едно. Аз, очевидно, съм по-малко от такива вектори и мога да задоволя основата на тривиално пространство.

Назначаване: Основа trivimirnogo просторнаречен трио от линейно независими (некомпланарни) вектори, взето от заповедта за пеенепо всяко време, било то вектор на открито пространство един рангразпределени върху дадена основа, де координати на вектор в дадена база

Познавайки, можете също да кажете, че векторът на репрезентациите линейна комбинациябазови вектори.

Концепцията за координатната система се въвежда по същия начин, както за плосък наклон, една точка и три линейно независими вектора са достатъчни:

кочан от координати, і некомпланаренвектори , взето от заповедта за пеене, комплект афинна система от координати на триви-световното пространство :

Очевидно координатната мрежа на „плитка“ не е много ефективна, но подканата координатна система ни позволява да определенообозначават координатите на всеки вектор, които координатите на която и да е точка от пространството. Подобно на равнината, в атинската координатна система пространството на нищото трябва да бъде изчистено чрез изработване на формули, за които вече се досещах.

Най-първичният и най-удобният термин за афинитетната координатна система є правоъгълна координатна система:

Посочете към пространството, както се нарича кочан от координати, і ортонормализациязадайте основата Декартова правоъгълна координатна система . Познайте изображението:

Преди това, как да премина към практически задачи, ще систематизирам отново информацията:

За три вектора в пространството, еквивалентни на една и съща твърдост:
1) векторите са линейно независими;
2) вектори и установяване на база;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат свързани линейно един през един;
5) арбитър, сгъващ се от координатите на тези вектори, насочващ нула.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, познайте, zrozumіlі.

Линейното падане/независимостта на вектора в пространството традиционно се преглежда с помощта на назначения (параграф 5). Практическите задачи, които са пропуснати, са ясно алгебрични по природа. Време е да окачите геометричен ключ на цветята и да размахате бейзболна бухалка от линейна алгебра:

Три вектора отворено пространство complanarnі thodі і tіlki tіlki tіlі, ако vyznachnik, сгънати координати danih vektor_v, do_vnyuє нула: .

Отдавам чест на един малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колоната, но и в реда (стойността на вектора не се променя - силата на векторите е невероятна). Ale по-богат е по-красив в stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe за изпълнение на някои практически задачи.

Тим на читателите, които са забравили методите на розрахунка на абитуриентите, или може би са слабо ориентирани в тях, препоръчвам един от най-старите си уроци: Как да броим?

дупе 6

Проверете дали следните вектори установяват основата на тривиалното пространство:

Решение: Всъщност всички решения се вземат по изчисление на длъжника

a) Изчислете променливата, сгъвайки от координатите на vector_v (променливата на разширението зад първия ред):

Оттук нататък векторите са линейно независими (не компланарни) и установяват основата на тривумоподобно пространство.

Видповид: дадени вектори и удовлетворяват основата

б) Това е смисълът на независимото решение. Външно решението е, че е подобно на урока.

Обхождащи и творчески работници:

дупе 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат компланарни?

Решение: Вектори и копланарни todі і tіlki tіlki dі, ако vyznachnik, гънките на координатите на тези vector_v do_vnyuє нула:

Всъщност е необходимо да бъдем равен на vyznachnik. Изсипва се върху нули като шулици върху джербои - сигнификаторът на навигатора за намиране в различен ред и в един ред ще търси минуси:

Нека извършим допълнително разширение и го завъртим от дясно към най-простото линейно подравняване:

Видповид: в

Тук е лесно да се помири, за което е необходимо да се обоснове стойността на бившия чиновник и да се преразгледа , отваряйки йога наново.

В края, нека разгледаме един типичен проблем, как да бъдем по-алгебрични по природа и звук, включен преди курса по линейна алгебра. Подовата настилка е разширена, което е достойно за голям плот:

За да доведат, че 3 вектора установяват основата на триви-световното пространство
и познават координатите на 4-ти вектор в дадената основа

дупе 8

Вектори на данни. Покажете, че векторите удовлетворяват основата на тривимерното пространство и знаят координатите на вектора в коя база.

Решение: На задната част на главата, ние подхващаме ума. За ума му са дадени chotiri вектори и, подобно на Bachite, смрадът вече е с координати в същата основа. Каква е основата - не ни дразнете. И да кажа такава дума: три вектора могат да установят нова основа. Първият етап отново е базиран на решенията от Приложение 6, като е необходимо да се провери дали векторите са линейно независими:

Нека изчислим броя на добавките от координатите на векторите:

Впрочем, векторите са линейно независими и установяват основата на тривимерното пространство.

! важно : векторни координати обовъазковозаписваем на гарата vyznachnika, а не в редове. В противен случай ще има измама в по-далечните алгоритми на rozvyazannya.

Назначаване 1. Векторната система се нарича линейно угар, тъй като една от векторните системи може да се използва като линейна комбинация от други вектори в системата, а линейно независима - в противен случай.

Назначаване 1'. Системата от вектори се нарича линейна угара, тъй като има числа з 1 , з 2 , …, з k , не всички равни на нула, така че линейната комбинация от вектори с дадени коефициенти е равна на нулевия вектор: = , в противен случай системата се нарича линейно независима.

Ще бъде показано, че обозначенията са еквивалентни.

Нека спечелим срещата 1, tobto. един от векторите в системата е по-усъвършенствана линейна комбинация от други:

Линейната комбинация на векторната система е равна на нулевия вектор, а всички коефициенти на комбинацията са равни на нула, т.е. назначението 1 '.

Нека променим назначението 1. Линейната комбинация от системата от вектори е по-скъпа, освен това като цяло коефициентите на комбинацията са равни на нула, например коефициентите на вектора.

Един от векторите в системата беше представен като линейна комбинация от други, т.е. Назначаването е завършено 1.

Назначаване 2. Единичен вектор или вектор се нарича вектор на n свят, СЗО и-та координата на старата, други - нула.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различни единични вектори н-мирно пространство, линейно независимо.

Доказателство.Нека линейна комбинация от тези вектори с достатъчни коефициенти води до нулевия вектор.

Z ієї rіvnostі vyplivaє, scho всички koefіtsієnti dorivnyuyut нула. Набули избършете.

Кожен вектор н- спокойно пространство ā (а 1 , а 2 , ..., а n) може да има представяния за линейна комбинация от единични вектори с коефициенти, равни на координатите на вектора

Теорема 2. Като система от вектори за заместване на нулев вектор, той е линейно угар.

Доказателство.Нека е дадена система от вектори и един от векторите е нулев, например = . Така че с векторите на тази система е възможно да се добави линейна комбинация, която е равна на нулевия вектор и не всички коефициенти ще бъдат нула:

Системата също е линейно угар.

Теорема 3. Ако подсистемата на векторната система е линейно угара, тогава цялата система е линейно угара.

Доказателство.Дадена е система от вектори. Да приемем, че системата е линейно угара, tobto. познайте числата з 1 , з 2 , …, з r , Не всички са равни на нула, така че, sho = .Тоди

Оказа се, че линейната комбинация от вектори във всички системи е здрава и не всички коефициенти на комбинацията са здрави до нула. Отже, векторната система е линейно депозирана.

Последно.Точно както векторната система е линейно независима, тогава дали една подсистема също е линейно независима.

Доказателство.

Хайде да не го приемаме, да. подсистемата deak е линейно угар. От теоремата става ясно, че системата е линейно угар. Ние направихме супер острота.

Теорема 4 (теоремата на Щайниц).Как да премахнете кожата от вектори и линейна комбинация от вектори и м>н, векторната система е линейно угар.

Последно.За всяка система от n-светови вектори не може да има повече от n линейно независими.

Доказателство.Кожен н-световният вектор се проявява в привидно линейна комбинация от n единични вектора. Защото системата е за отмъщение м vector_v ta м>н, то според теоремата тази система е линейно угара.

вираз ум Наречен линейна комбинация от вектори A 1 , A 2 ,...,A nс коефициенти λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Обозначаване на линейния депозит на системата от вектори

Векторна система A 1 , A 2 ,...,A nНаречен линеен угар, Как да използвате ненулев набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n, за която линейна комбинация от вектори λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nпо-близо до нула вектор, тогава системата е равна на: може да бъде ненулево решение.
Набиране на числа λ 1, λ 2 ,...,λ n е различен от нула, ако е само едно от числата λ 1, λ 2 ,...,λ n видимо нула.

Обозначаване на линейна независимост на векторната система

Векторна система A 1 , A 2 ,...,A nНаречен линейно независими, като линейна комбинация от тези вектори λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдават нулевия вектор по-малък от нулевия набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n , тогава системата е равна на: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θима само едно нулево решение.

Проверете, чи е линейна угарна система от вектори

Решение:

1. Изграждаме система за изравняване:

2. Virishuemo її метод на Гаус. Трансформацията на системата на Йордан е показана в Таблица 29.1. При възстановяване на правилните части на системата, парчетата от вонята са равни на нула и не се променят за трансформациите на Джордан.

3. Три оставащи три реда в таблицата система, разрешена за запис, еднакво силнасистеми:

4. Otrimuemo zagalne разтвор на системата:

5. След като предостави на решаващия съд стойността на безплатната промяна x 3 =1, само частно ненулево решение X = (-3,2,1).

Заключение: По този начин при ненулев набор от числа (-3,2,1) линейната комбинация на вектора в нулевия вектор е -3A1+2A2+1A3=Θ. Отже, векторната система е линейно угар.

Силата на векторните системи

мощност (1)
Ако системата от вектори е линейно угара, тогава ако един от векторите е разположен зад другите, тогава, ако само един от векторите в системата е разположен зад другите, системата от вектори е линейно угара.

мощност (2)
Точно както векторната подсистема е линейно угара, така и цялата система е линейно угара.

мощност (3)
Точно както векторната система е линейно независима, дали подсистемата е линейно независима.

мощност (4)
Независимо дали е система от вектори, за да отмъсти на нулев вектор, това е линеен угар.

мощност (5)
Системата от вектори на m-света винаги е линейно угара, тъй като броят на векторите n е по-голям от броя на векторите (n>m)

Основа на векторната система

Основата на системата от вектори A 1 , A 2 ,..., A n такава подсистема B 1 , B 2 ,...,B r(скин от векторите B 1 ,B 2 ,...,B r є един от векторите A 1 , A 2 ,..., A n) , за да зарадваме идващите умове:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлинейно независима система от вектори;
2. какъвто и да е вектор Aj системи A 1 , A 2 ,..., A n се изразяват линейно чрез векторите B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Броят на векторите, включени в основата.

Теорема 29.1 За единична основа на система от вектори.

Като система от m-светови вектори за заместване на m различни единични вектори E 1 E 2 ,..., E m , всички смърди съставляват основата на системата.

Алгоритъм за намиране на основата на системата от вектори

За да се знае основата на системата от вектори A 1 ,A 2 ,...,A n е необходимо:

• Сгънете двумерна векторна система в хомогенна система от равни A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Насочете системата си