Основната мощност на числовия ред. Спиране на поредицата от числа

1. Числови редове: основното разбиране, необходимата интелигентност и рентабилността са ниски. Допълнителен ред.

2. Редица положителни членове и признаци на їx zbіzhnostі: признаци на porivnyannia, d'Alembert, Cauchy.

3. Знакови редове, знаци на Лайбниц.

1. Обозначение на числов ред. живот

В математически допълнения, и navіt nіt nіt nіt nіt іn час vyrіshennya yakіkh avdan ekonomіki, statistiсі i іnshih galuzy pozglyadyut sumi z neskіnchennym брой dodankіv. Ето името на моята дама за този, който разбира под такива суми.

Нека бъде дадена некодираната числова последователност

Назначаване 1.1. Числова инструкцияили просто поръчканаречен вираз (сума) ум

. (1.1)

Числа Наречен членове на число, –дивили n-тонисък член.

За да се дефинира поредица (1.1) е достатъчно да се дефинира функцията на естествения аргумент на номера на члена на редицата след тото число

Дупе 1.1. Хайде. Ред

(1.2)

Наречен хармоничен ред.

Дупе 1.2. Хайде, Роу

(1.3)

Наречен загален хармоничен близо. Хармоничен ред влиза в окрему випадка.

Дупе 1.3. Хайде =. Ред

Наречен ред на геометрична прогресия.

3 члена от поредицата (1.1) могат да бъдат решени числено приемственост на частни сума де - сборът от първите членове на поредицата, както се нарича н-и частна сума, тогава.

…………………………….

…………………………….

Числова последователност с непосредствено нарастване на стаята, можете:

1) майки на границата;

2) не майка края на границата (границата не е иsnuє или dorіvnyuє neskіchennostі).

Назначаване 1.2. Поредица (1.1) се нарича подобенкато последователност от його частни суми (1.5) може да бъде краят на реда, tobto.

По какъв начин се извиква числото чантасерия (1.1) ta е записана

Назначаване 1.3.Поредица (1.1) се нарича rozbіzhnym,като следствие от його частни суми няма окончателни граници.

Razbіzhny ред не се приписва на една и съща sumi.

В този ранг задачата да се знае сумата от редица неща, които трябва да се извършат (1.1) е равна на изчисляването на интер-последователността на його часткови суми.

Нека да разгледаме цацата от приложения.

дупе 1.4.Донеси какво следва

се сближават, знам йога сумата.

Знаем сумата на n-та част от този ред.

горещ член в един ред можем да си представим .

Звучи маймо: . Otzhe, датски серии се сближават и yogo sum dorivnyu 1:

Наличност 1.5. Продължете към zbіzhnist ред

За кой ред

. Otzhe, целият ред да се разпръсне.

Уважение.За ред (1.6) є сумата от безкраен брой нули і є очевидно сходна.

2. Основната мощност на числовия ред

Степените на сумата от последния брой доданки се разделят на последователни степени, тоест сумата от безкрайния брой доданки. Така че в момента на крайния брой dodankiv їx е възможно да ги групирате в произволен ред, без значение колко сумата не се променя. Іsnuyut редове, които се сближават (психически сходни, както ще бъдат разгледани в раздели 5), за тези, сякаш показват римски * , Променяйки правилния ред на реда на насочване на техните членове, можете да увеличите сумата от редица равни числа и да създадете различна серия.

Пример 2.1.Нека разгледаме различния ред на ума (1.7)

Групирайки термини от йога по двойки, ние вземаме подобна серия от числа от сумата, която е равна на нула:

От другата страна, групирайки първия член по двойки, започвайки от другия член, също вземаме подобен ред, но и от чантата, които са по-единични:

Номерата на редовете могат да бъдат дякони на властта, сякаш позволяват на децата да работят с тях, като с крайни суми. Така че можете да ги умножите по числа, да ги добавите термин по термин и да ги видите. Могат да се обединят в група, независимо дали са складове, да стоят на стража.

Теорема 2.1.(Необходимите признаци за рентабилност са ниски).

Ако редът (1.1) се сближи, тогава пълният член е равен на нула за неограничен растеж от n, тогава.

Доказателството на теоремата се дължи на факта, че , i

S е сборът от редицата (1.1), тогава

Умова (2.1) - необходима, но недостатъчно умствена за успеха на сериала. Тоест, въпреки че последният член е нисък до нула при , това не означава, че редът се сближава. Например, за хармоничния ред (1.2) обаче, както е показано по-долу, vіn се разминават.

Последица(Достатъчен знак за rozbіzhnostі ниска).

Yakshcho zagalny член са ниски не прагне нула на, tsey серия да се разпръсне.

Пример 2.2.Продължете към zbіzhnist ред

.

За кой ред

Otzhe, целият ред да се разпръсне.

Другите редове (1.6), (1.7), които са разгледани, също са такива, че не се нуждаят от необходимите признаци на zbіzhnosti. За серии (1.6) между за ред (1.7) не знам.

Мощност 2.1.Приликата или rozbіzhnіst на поредицата не се променя, сякаш по достатъчен ред за премахване от новия, добавяне към новия, пренареждане на броя на членовете в новия последен (ако броят на членовете се промени за ред, можете да промените сумата).

Доказателството, че редът (1.1) е такъв излишък се сближават или разпръскват едновременно.

Мощност 2.2.Подобен ред може да се умножи по число, така че редът (1.1) да се сближи, ако сборът S и c е число, тогава

Доказателство за красноречиви изказвания, че справедливостта е справедлива

Мощност 2.3. Zbіgayutsya редове могат да бъдат сгънати термин по термин и vіdnіmati, tobto като ред,

сближават се,

се сближават, че її сума dorivnyuє tobto.

.

Доказателството е силно от силата на граничните суми, tobto.

INSTUP

Методическо ръководство за назначения за математици в техникумите, както и за студенти от други курсове от всички специалности.

Чиито роботи имат основното разбиране за теорията на редовете. Теоретичният материал е в подкрепа на Суверенния стандарт за осветление за средно професионално образование (Министерство на образованието на Руската федерация. М., 2002).

Приносът на теоретичния материал по всички теми е придружен от преглед на голям брой заявления и задачи, извършени по достъпен, пъргав начин. Например беше дадена помощ за прилагане на тази задача, за да могат учениците да преодолеят режима на самоконтрол.

Помощник при записване на студенти от задочна и редовна форма на обучение.

Vrakhovuychi ryven обучение uchnіv tehnіkumu, а също и в kіlkіst години (12 години + 4 f.), което се въвежда от програмата за преминаване на висша математика в технически училища, suvori vysnovki, които представляват големи трудности за учене, пропускане, смесване с гледам приложението.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ

Решението на задачата, представено в математически термини, например, в случай на комбинации от различни функции, техните сходни и интеграли, е необходимо да се „доведе до числото“, както и остатъчната разлика. Ето защо различните раздели на математиката са разработили различни методи.

Razdіl математици, scho позволява virіshity be-yaké правилно зададени zavdannya s достатъчно за практическа vikoristannya точност, наречена теория на редовете.

Навит като вид фино разбиране на математическия анализ се появи като кохерентна поза от теорията на редовете; Такъв лагер е спасен и заразен.

вираз ум

de;;;…;;… - членове на редица; - n-тов противен случай последният член на поредицата се нарича неизчерпаема серия.

Като член на ред:

I. Числови серии

1.1. Основно разбиране на числовия ред.

Числото до него се нарича сбор на ума

, (1.1)

de ,,,…,,…, редиците на членовете са ниски, те установяват неумолима последователност; терминът се нарича главен член на поредицата.

гънките от първите членове са ниски (1.1), те се наричат ​​частични суми на този ред.

Последователността от частни суми може да бъде равна на реда на кожата .

Като при неограничено увеличаване на броя н chastkova сумата е ниска прагне между, тогава редът се нарича подобен, а числото се нарича сбор от подобен ред, tobto.

Рекордът е равен на рекорда

.

Колко често е сборът от редицата (1.1) с неограничен растеж нако нямате крайна граница (pragne abo), тогава такава серия се нарича rozbіzhnym .

Якшчо ред подобен , след това значението за завършване на великото н є приближаващ вираз суми подред С.

Цената на дребно се нарича твърде ниска. Ако редът работи, тогава превишението на натоварването до нула, след това и отново, ако превишението на товара до нула, тогава редът работи.

1.2. Приложете числови линии.

Дупе 1. Редица ум

(1.2)

Наречен геометрична .

Геометрична серия от решения от членовете на геометричната прогресия.

Vіdomo, scho sum її първо нчленове Очевидно: н-сумата от редицата (1.2).

Възможни капки:

Ред (1.2) изглежда така:

, ред за разпръскване;

Ред (1.2) изглежда така:

Няма разстояние, редица разпръснати.

- Kіntseve номер, сериите се сближават.

- Редица разпръснати.

Също така, цялата серия се сближава за i се разминават за .

Дупе 2. Греба ум

(1.3)

Наречен хармоничен .

Записваме частичния сбор на реда:

Сумата е по-голяма за сумата, ще я дам в следващия клас:

или .

Yakscho нещо , или .

Татко, якшо, значи, тобто. сериите за хармония се разминават.

Дупе 3. Греба ум

(1.4)

Наречен загален хармоничен .

Yakshcho, тогава този ред се превръща в хармоничния ред, който е rozbіzhnym.

Тъй като членовете на тази серия са по-големи от съответните членове на хармоничния ред i, това означава, че вината се разминават. Когато има геометрична серия, в якому; виното е подобно.

Otzhe, zagalneniya хармонични серии се сближават за і се разминават за .

1.3. Необходими и достатъчни признаци на просперитет.

Необходимият признак за рентабилност е ниска.

Поредицата може да се сближи повече, отколкото знаете, кой е последният член с неограничено увеличаване на броя и право на нула: .

Yakshcho, след това редът се разминават - достатъчният знак за rozbіzhnosti е нисък.

Достатъчни признаци на просперитет се инструктират от положителни членове.

Знак за подравняване между редовете с положителни членове.

Dosl_dzhuvany редовете се сближават, термините yakscho yogo не надвишават други членове на следващата, подобна серия; doslіdzhuvany ред да се разминават, сякаш членовете йога обръщат същите членове на друг, svіdomo rozbіzhny ред.

Знак на д'Аламбер.

Харесайте за поръчката с положителни условия

vykonuєtsya umova, след това редът изгасва при I разпръсна се в.

Знакът на д'Аламбер не дава доказателства, якшо. И тук doslіdzhennya ниска zastosovuetsya іnshi priyomi.

правилно.

Запишете ред за йога, нека зададем общ член:

Като се има предвид ,,,…, може да има непоследователна последователност от числа:

Членове на глинената йога, наредете се

.

Vchinyayuchi просто така, вземете ред

.

Давайки стойностите 1,2,3, ... и гледайки какво ,,, ..., вземете ред

.

Зная н-ти член на реда след йога даними към първите членове:

Знаменателите на членовете са ниски, като се започне от първия, по двойки; отже, н- th член на реда може да изглежда.

Числата на членовете на редицата утвърждават естествения ред от числа, а числата за тях са естествените серии от числа, а числата за тях са естествените серии от числа, започващи от 3. Знаците се изчертават според закон или закон. да означава, н- th член на реда може да изглежда. или .

Следвайте реда zbіzhnіst, zastosovuyuchi необходимия знак за zbіzhnostі, който знак porivnyannia:

;

.

Известен .

Необходимите признаци на просперитет са ниски, но разликата в храната за просперитет е необходима, за да спре един от достатъчните признаци на просперитет. Por_vnyaєmo tsey серия с геометрични серии

,

които се сливат, парчета.

Редувайки членове на дадена серия, започвайки от друга, с различни членове на геометричен ред, премахваме неравностите

tobto. членове на тази поредица, започвайки от друга, очевидно по-малко членове на геометричния ред, звездите са ясни, че тази серия се сближава.

.

Тук достатъчно признаци на rozbіzhnosti са ниски; Otzhe, редица разпръснати.

Известен .

Необходим знак за просперитет в един ред vikonuєtsya. Por_vnyaєmo tsey ред іz zagalnenim хармоничен ред

,

които се сближават, парчета, по-късно, се събират и цялата серия.

Следвайте линията на заместни знаци на д'Аламбер:

;

.

Замяна на заместник поред нномер n+ 1, ние приемаме. Знаем разликата между първия член и н-член на моя:

Отже, тези серии се сближават.

Otzhe, целият ред да се разпръсне.

Тобто. ред за разминаване.

II. Znazminny ред

2.1 Разбиране на познатия ред.

числови серии

Наречен познат , тъй като средата на його термините са както положителни, така и отрицателни числа.

Числовият ред се нарича алтернативен знак , все едно има двама члена, да стоят като ръкохватка, да правят знаци.

de за всички (това е поредица, чиито положителни и отрицателни членове вървят един по един по пътя). Например,

;

;

.

За емблематичните редове през май е достатъчен знак за комфорт (вмъкнат през 1714 г. от Лайбниц на листа преди И. Бернули).

2.2 Признаци на Лайбниц. Абсолютен е този умствен zbizhnist ред.

Теорема (знак на Лайбниц).

Знакът на редуващия се ред се сближава, както следва:

Последователността на абсолютните стойности на членовете е ниска, монотонно се променя, т.е. ;

Zagalny член ниско pragne нула:.

С всяка сума S в ред, удовлетворява неравномерността

Уважение.

Следвайте ума на следващия ред

(с отрицателен първи член) да се създаде чрез умножаване на всички йога членове на следващия ред .

Редовете, за които са написани ума на теоремите на Лайбниц, се наричат Лайбниц (над лавите на Лайбниц).

Spivdnoshlennya ви позволява да направите проста и незабавна оценка на помилването, както признаваме, замествайки сумата Сдадено на редица йога от частна сума.

Редът Vіdkinuty (излишък) също е близо, така че знакът е начертан. , чиято сума от модула е по-малка от първия член на тия ред, tobto. Ето защо помилването е по-малко от модула на първия от тримата членове.

дупето. Изчислете приблизително сумата на реда.

Решение: тази серия е от типа на Лайбниц. Win се сближават. Можете да запишете:

.

Взимайки петима членове, tobto. замяна

Нека да получим извинение, меншу,

chim . Отже.

За емблематичните редове през май идва достатъчно ярък знак за просперитет.

Теорема. Хайде, предвид познатия ред

Как да съберем ред

се сгъва от модулите на членовете на тази серия, тогава самата позната серия се сближава.

Знаците за zbіzhnosti на Лайбниц за редовете със знаци служат като достатъчен знак за знаците zbіzhnosti на редовете, които са начертани.

Познатият ред се нарича абсолютно подобни , така че да се сближи поредица от сгъвания от абсолютните стойности на първите членове, tobto. всяка абсолютно подобна серия е подобна.

Ако знакът на редуващия се ред се сближава и добавките на абсолютните стойности на його члените в серията се разминават, тогава цялата серия се нарича психически (не е абсолютно) подобен.

2.3. правилно.

Doslidit на zbіzhnіst (абсолютно или мислено) серия, която е нарисувана:

і

Otzhe, за знака на Лайбниц, редовете се сближават. Z'yasuєmo, чи се сближават тези серии абсолютно чи психически.

Ред , Сгъвания от абсолютните стойности ​​​от тази серия, е хармоничен следващ, яки, разпръснат. Следователно цялата серия се сближава психически.

Членовете на тази серия след абсолютната стойност се променят монотонно:

, ейл

.

Редица се разпръснат, парчетата от знака на Лайбниц не печелят.

Vikoristovuyuchi знак Лайбниц, otrimaemo

;,

tobto. редовете се сближават.

.

Tse геометрична серия ум, de converge. Следователно цялата серия се сближава абсолютно.

Победа според знака на Лайбниц, може би

;

, тогава. редовете се сближават.

Нека разгледаме поредица от сгъвания от абсолютните стойности на членовете на серията:

, или

.

Tse zagalneniya хармония ред, които се разпръскват, парчета. Отже, цялата серия се сближава мислено.

III. Функционална серия

3.1. Концепцията за функционални серии.

Извиква се число, членовете на чиято функция е vіd функционален :

Nadayuchi пеят стойност, отнемат серия от числа

които могат да бъдат подобни, така и така, че да се разпръснат.

Ако изваждането на числов ред се сближи, тогава точката се извиква гореща точка функционален обхват; как да се разминават в един ред - точка на разделяне функционален ред.

Наборът от числови стойности на аргумента, за който функционалните серии се сближават, се нарича йога зона на живот .

В областта на zbіzhnostі функционален номер на yogo сума є deykoyu функция vіd:.

Vychayatsya извън сферата на живота на ревността

, де

Часткова сума е ниска.

дупето. Познайте района на живот в редица.

Решение. Този ред е инструкция за геометричната прогресия на банера. Отже, цялата поредица се събира за, tobto. изобщо; сума към редица dorivnyuє;

, per .

3.2. Стъпки подред.

Следващата стъпка се нарича ред на ума

,

де числа Наречен коефициенти подред и членът е водещият член на поредицата.

Областта на статистическия ред се нарича безлична на всички стойности, за които редът се сближава.

Номерът се извиква радиус на живот степенен ред, така че когато редовете се сближават и преди това абсолютно, и когато редовете се разминават.

Радиусът на живота е известен, використичен знак на д'Аламбер:

(не лежи във вода),

tobto. като поредица от сближаване за каквото и да е, scho харесва ума ви и се разминават в .

Zvіdsi vyplivaє, scho yakscho іsnuє граница

,

тогава радиусът на реда zbіzhnosti tsіy mezhі і състояние серия се сближават в , тогава. при посредника, който се нарича promizhkom (интервал) zbizhnostі.

Yakscho, тогава сериите се сближават в една точка.

В края на празнината редът може да zbіgatisya (абсолютно или психически) или може да се разминава.

Рентабилността на величествен ред с и doslіdzhuєtsya за помощ, било то знак за рентабилност.

3.3. правилно.

Намерете района на живот до:

Решение. Знаем радиуса на движение на този ред:

.

Също така тази серия се сближава абсолютно по цялата числова ос.

Решение. Бързайки със знака на д'Аламбер. За кой ред може:

.

Серията се сближава абсолютно, също толкова добре. Doslіdzhuєmo поведение е ниско kіtsyah іnternvalu zbіzhnostі.

Когато maєmo ред

Когато maєmo ред - Tse Leybnitevsky серия, която може да се сближи. Otzhe, площта на zbіzhnostі vihіdny ред е vіdrіzok.

Решение. Знаем, че радиусът на разходката е малък:

Otzhe, сериите се сближават за, tobto. в

Приемаме номер , които се сближават за знака на Лайбниц

Приемаме произволен ред

.

Отже, районът на живеене в редица е празнина.

IV. Разлагане на елементарни функции до реда на Маклорен.

За добавките е важно да включите тази функция в подреден ред, tobto. да представи функцията като сума от подредена серия.

Редът на Тейлър за функция се нарича ред на състоянието на формата

Якшчо, тогава правим последната стъпка към сериала Тейлър

което се нарича Прапорщик на Маклорен .

Редът стъпка по стъпка на средния интервал на рентабилността може да се диференцира и интегрира по добър начин по време на рентабилност, а елиминирането на реда може да бъде самият интервал на рентабилността, който е последният ред.

Два подредени редове могат да се добавят и умножават термин по термин според правилата за сгъване и умножаване на богати термини. В случай на промискуитет на спечеления нов ред, той изтича от основната част от безразборността на редовете през уикенда.

За разширяване на функцията до серията Maclaurin е необходимо:

Избройте стойностите на функцията и її на последните в точката, tobto,,,,…,;

Сгънете серията на Маклорен, като замените стойностите на функциите и її на последните подобни формули на реда на Маклорен;

Познайте разликата между числата на избрания ред след формулата

, .

Пример 1. Изложете функцията на серия Maclaurin.

Решение. така че як , след това, заменяйки оформлението, отнемаме:

Пример 2. Запишете няколко функции на Маклорин .

Решение. Oskіlki, след това сбръчкан от формулата, в yakіy го заменяме с, вземаме го:

,

Пример 3. Изложете функцията на серия Maclaurin.

Решение. Ускоряваме формулата. така че як

, тогава ще заменим:

, или

де, тобто. .

V. Практически задачи за самоконтрол на учениците.

За помощ знаците за подравняване на редовете ще установят безопасност

;

;

VII. Историческо доказателство.

Промяната на богатството на задачата е да се изчисли стойността на функциите и интегралите, или вариацията на диференциалните уравнения, за да се отмъсти за загубите или диференциалите на неизвестните функции.

По-точно е обаче, че присвояването на математически операции по различни начини изглежда по-усукано или невъзможно. В тези випади можете да разгледате отблизо rozvyazannya bagatioh zavdan іz be - един вид bazhan точност с помощта на редове.

Ще опростим и завършим серията с инструмент за математически анализ за приблизително изчисляване на функции, интеграции и решение на диференциални уравнения.

І функционален ред, който е десен.

За да замените знака "" е възможно да се постави знак за равенство, е необходимо да се извършат действия за добавяне на рефлукс, обвързване с неизчерпаем брой добавки в дясната част на еквивалентността и площта на доходи подред.

Когато формулата на Тейлър изглежда така, сякаш се нарича формула на Маклорин:

Колин Маклорин (1698 - 1746), ученик на Нютон, в работата "Трактат за флуксиите" (1742) инсталира, че стековата серия, която превръща аналитична функция, е единична, ако ще има серия на Тейлър, поколения от такива функция. Биномиалната формула на Нютон има коефициенти при стъпки е стойност , de .

Отже, лави виникли през XVIII век. като начин за проява на функции, които позволяват незначителна диференциация. Въпреки това, функцията, която изглежда като гарант, не беше наречена сума и по това време все още не беше определено каква е сумата от числовото число на функционалния ред, ако само можете да опитате да го изчистите.

Например Л. Ойлер (1707-1783), който записва серия от колони за функцията, давайки конкретна стойност. Въвеждане на серия от числа. Със сбора на тази серия Ойлер взе предвид стойностите на външните функции в точки. Але це не е прав.

За тези, които са в един ред, как да се разпръснат, не мога да го обобщя, вчени започнаха да гадаят едва през 19 век, макар и през 18 век. богато и Л. Ойлер, богато практикуван върху концепциите за удобство и разнообразие. Ойлер назова поредицата подобно, сякаш това е най-важният член от нула по време на растеж.

Теоретично, редовете на Ойлер, като са взели предвид малко от първоначалните резултати, прот и резултатите не са знаели резултатите дълго време. Още 1826 г Н.Г. Абел (1802 - 1829) нарича редовете на редовете "дяволски вигадувания". Резултатите на Ойлер са известни само като буквар за деветнадесети век.

При формоването, разбирането на сумата на реда, какво да отидете, голямата роля, изиграна от френските учения на O.L. Коши (1789 - 1857); Вин е станал превъзходно богат в теорията на редовете и в теорията между, в създаването на най-разбираемото между. В 1826г. Koshі като обяви, scho един ред, scho да се разпръсне, не maє sumi.

В 1768г. Френският математик и философ Дж.Л. Д'Аламбер изведе позицията на офанзивния член на предната част в биномиалния ред и показа, че ако членът за модула е по-малък от един, тогава редът се сближава. Коши в 1821г. след като завърши теоремата, която прави знака на zbіzhnosti на знак-положителни редове, като знак на д'Аламбер, сега наричан знак на д'Аламбер.

За да продължи успеха на знаковите редове, знакът на Лайбниц е победител.

Г.В. Лайбниц (1646 - 1716), великият немски математик и философ, орден z І. Нютон е основателят на диференциалните и интегралните изчисления.

Списък на литературата:

Основен:

1. Богомолов Н.В., Практически уроци по математика. М., "Вища училище", 1990 - 495 с.;
2. Тарасов Н.П., курс по усъвършенствана математика за технически училища. М., "Наука", 1971 - 448 с.;
3. Зайцев И.Л., курс по усъвършенствана математика за технически училища. М., суверенитет на техническите училища - теоретична литература, 1957 - 339 с.;
4. Pismovy D.T., Курс от лекции по висша математика. М., "Ирис Прес", 2005, част 2 - 256 с.;
5. Вигодски М.Я., Довидник от висшата математика. М., "Наука", 1975 - 872 с.;

Допълнителна:

1. Гусак А.А., Вища математика. В 2 т., т. 2: Пътеводител за ученици от гимназията. Мос., "Тетрасистеми", 1988 - 448 с.;
2. Григулецки В.Г., Лукянова И.В., Петунина И.А., Математика за студенти от икономически специалности. Част 2. Краснодар, 2002 - 348 с.;
3. Григулецки В.Г. че в. Книга със задачи по математика. Краснодар. КДАУ, 2003 - 170 с.;
4. Григулецки В.Г., Степанцова К.Г., Хетман В.М. Краснодар. 2001 г. - 173 стр.;
5. Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Vishcha Mathematics. Краснодар, 1998 - 186 с.;
6. Малихин V.I., Икономическа математика. М., "Инфра-М", 1999 - 356с.

Нека разгледаме непростимата последователност от числа, tobto. безлични числа, за някакво естествено число нспоред правилото за пеене a n. Умът на Вираз се нарича числови серии, самите числа са членове на серия, - спящ член на редицата. Запишете накратко поредицата, както следва:.

Суми, само във всяко присъствие нсе наричат ​​първите членове в поредицата в частни суми подред.

Числовата серия се нарича подобно, тъй като последователността от його частни суми може да бъде краят на реда. номер Снаречена сумата на реда.

Ако няма граница, тогава се извиква серия.

пример 1.Дадена е безкрайна геометрична прогресия. Складов ред

и doslіdzhuєmo yogo zbіzhnіst, z vznáchennya zbіzhnostі ред. І към това съхраняваме частна сума =. За гимназиален курс по математика знаем това. Познайте как да изляза. За да го докажа, аз rozpodil

Сега можем да изчислим границата, vrakhovuchi, какви са три възможни точки тук:

2) якчо q= 1, тогава = i ,

3) якчо q= -1, след това =, i, a =, i. Отже, последователността на частните суми не е единна граница.

Следователно, robimo visnovok: геометрична прогресия се сближават, като и се разминават в .

дупе 2.Донесете rozbіzhnіstryad

Решение.Оценете частната сума на поредицата:

> , тогава. > ,

и между части от сбора от по-скъпи несъответствия (според водещата теорема за границите: x n > y n, тогава): = ¥. Otzhe, целият ред да се разпръсне.

Силата на подобни редове

Нека разгледаме два реда. Още един ред отчисления от първия път за първия мчленове на йога. Този ред се нарича допълнителен ред, той е обозначен rn.

Теорема 1. Как да присъедините ред, какво да отидете, умножете числото по deak У, тогава жизнеспособността на поредицата няма да се срине, но сумата ще се умножи по У.

Теорема 2. Два реда, които се сближават, могат да се сгъват (vіdnіmati) член по член и сумата на взетия ред е по-скъпа, de - сумата на първия ред, и - сумата на другия.

Теорема 3. Веднага след като серия се сближи, кожите от един от излишъците се сближават. От излишъка на реда, zbіzhnіst на самия ред вибрира.

Може да се каже и по друг начин: малкият брой членове на поредицата допринася за ниските доходи (чи се приписва). I tsya сила е най-красивата. Вярно е, че нека сумата от редица допълнителни несъответствия (ряд се разпръсне). Сумираме още повече, но последният брой членове е малък. Tsya сумата може да бъде страхотна, но, отново, знам същото, крайното число. И така, това означава, че сумата е твърде голяма за реда и там членовете на реда са вече оскъдно малки числа, все пак има още безброй за безброй доданкиви.

Теорема 4. Необходим знак за безопасност.

Ако сериите се сближат, тогава його спящ член a n pragne нула, tobto. .

доказателство. Вярно,

І ако редът се сближава, тогава і, също, при .

Показателно е, че знакът е престанал да е достатъчен, tobto. редът може да се разминава, тъй като кумулативният член е равен на нула. При дупето 2 реда се разминават, като искат йога да има спящ член.

Але якчо a nне е равно на нула при , тогава поредицата е razbіzhny ( достатъчно знак за разнообразие подред).

Сходство на редове с положителни термини

Сериал се нарича положителен, както всичко.

Часткови суми в такъв ред S nустановяват нарастващи последствия, парчетата от кожата отпред са по-малко обидни, tobto. . От теорията помежду си (теорема на Болцано-Вайерщрас), сякаш растящата последователност е заобиколена от звяра (до това всички S nіsnuє такъв kіlkіst М, Какво S n < Мза всички н), може да има между. Zvіdsi vyplyaє напредваща теорема.

Теорема. Редица положителни термини се сближават, сякаш често се обобщават от звяра, и се разпръскват по друг начин.

Всичко се основава на тази власт достатъчни признаци за успеха на редиците с положителни членове. Нека разгледаме основните.

Знак за подравняване

Нека разгледаме два реда с неотрицателни членове: - (3) i - (4), освен това, започвайки от н. Същият zbіzhnostі ред (4) viplivaє zbіzhnіst ред (3). И от разнообразието на реда (3), разнообразието на реда (4) е ясно.

В противен случай: ако ред с по-големи членове се сближава, тогава редът с по-малки членове се сближава; ако ред от по-малки членове се разминават, тогава ред от по-големи членове се разминават.

дупето. Dosliditi на zbіzhnist ред.

Решение.Последният член на реда и редът е непотопяемата сума от членовете на геометричната прогресия с банера< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Знак Por_vnyannia в граничната форма

Нека разгледаме два реда i, i don't hai - крайното число. Така или иначе, редовете се събират или разпръскват едновременно.

дупето.

Решение. Избираме ред за повняване, з'ясувши за когото, като огнен член на ред с страхотно н:

Тобто. ~ , и yak един ред на подравняване, вземете ред, които се разминават, което беше показано по-рано.

Изчислява се между

И по-късно, обиждайки редиците да се държат по същия начин, tobto. целият ред също може да се разминава.

Знак на д'Аламбер

Позволете ми да ви дам ред и ясна граница. Тоди, якчо л < 1, то ряд сходится, если л> 1, тогава сериите ще се разминават, така че л= 1, тогава не се дава знак за валидиране (което е необходимо за допълнително проследяване).

дупето. Dolіditi zbіzhnіst ред (познайте какво, tobto. н-факторно є събиране на всички цели числа от 1 до н).

Решение.За кой ред, (за целта е необходимо нпредставям си н+ 1). Изчислява се между

и парчета между по-малко от 1, цялата серия се сближава.

Радикален знак на Кош

Позволете ми да ви дам ред и ясна граница. Yakscho л< 1, то ряд сходится, если л> 1, тогава сериите ще се разминават, така че л= 1;

дупето.Продължете към zbіzhnist ред

Решение.Горещият член е нисък. Нека изчислим границите. Така че е ниско за сближаване.

Неразделен знак на Коши

Нека да разгледаме реда и е приемливо, какво има на пода хÎ е фундаментално непрекъсната, положителна и монотонно разпадаща се функция, така че , н= 1, 2, 3…. Тогава редът и непоследователният интеграл се сближават и разминават едновременно.

Показателно е, че като серия от данни функцията се разглежда междинно.

Познай какво некласифициран интегралнаречено подобно, yakscho іsnuє kіntseva граница, і todi =. Дори и да няма край на границата, тогава изглежда така некласифициран интегралразпръснете се.

дупето.Нека да разгледаме реда - хармоничен редили ред на Dirichle с индикатор за стъпка с. Yakscho с= 1, тогава редът се нарича хармоничен ред.

Нека следваме този ред, використ інтегрален і в тегрален знак на Коши: =, і функция = ає maє и сила, znachenі в znaka. Можем да изчислим неразбираемия интеграл.

Има три възможности:

1) с < 1, и тогда

интегралът се разминава.

2) кога с = 1

интегралът се разминава.

3) якчо с> 1, тогава

интегралът се сближава.

Висновок. Хармоничните редове се сближават, като с> 1 и се разминават, така че с ≤ 1.

Този ред често се vikoristovuyut за изравняване с други редове, какво да отмъсти за стъпка н.

дупето.Следвайте реда до дъното.

Решение.За тази серия ~ =, това означава, че тази серия е подобна на серия, която се сближава, подобно на серията на Дирихле с индикатора на стъпката с = 2 > 1.

За знака на подравняване в граничната форма знаем между подравняването на членовете на сричката на даден ред и ред на Дирихле:

Otzhe, tsey ред се сближават.

Препоръки за изборзнак за комфорт

Следващата стъпка е да се ускори необходимия знак за zbіzhnosti на серията и да се изчисли междинният член на серията at. Yakshcho, след това редица svіdomo се разминават, и yakshcho, плъзгане, за да ускори един от достатъчните знаци.

Знаци Porіvnyanniaда намигва на тихи випади, ако с пътека завъртането на вираза за главния член на реда е позволено да премине от един ред към следващия, zbіzhnіst (chi rozbіzhnіst) от някакъв тип. Зокрема, как да отмъстиш по-малко от крачка нИ не си отмъщавайте за други функции, винаги можете да работите.

Знаци Porіvnyannia zastosovuyt тогава, ако последният ред може да бъде z_stavity z zagalnenim хармония ред или ред, сгънати от членовете на безкрайна геометрична прогресия.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

На този, който стои в книгата с числата, сякаш от тези функции, а в банера - функцията на леворуч в него, тогава, по-добре за всичко, редът се разпръсне и navpaki.

Тя е структурирана и докладвана информация, тъй като е възможно в подходящ момент за анализ на правата и задачата. Нека да разгледаме темата за числовите серии.

Статията Tsya започва с основните функции за разбиране. Дадохме стандартни опции и основни формули на vivimo. За да затворим материала, в статията е поставено основното приложение.

Основни тези

Можем да представим системата: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . de a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Например, вземете следните числа, като: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Назначаване 1

Числовият ред е сборът от членовете ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +. . . + a n +. . . .

За да разберем по-добре значението, можем да разгледаме випадок, за който q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Назначаване 2

а к є сън или k-imнисък член.

Вин изглежда като този ранг - 16 · - 1 2 k.

Назначаване 3

Сумата на Частков поредизглежда така Sn = a1+a2+. . . + a n , yakіy н-Нека е число. S n n-тосумата е ниска.

Например, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S1, S2,. . . , S n , . . . utvoryuyuyut несъответствие последователност на числовия ред.

За един ред n-aсумата е зад формулата S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Поредицата от частни суми ще достигне: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

Назначаване 4

Ред ∑ k = 1 ∞ a k є подобентогава, ако последователността може да бъде краят на реда S = lim S n n → + ∞ . Ако няма граница или последователността не е ограничена, тогава поредицата ∑ k = 1 ∞ a k се нарича rozbіzhnym.

Назначаване 5

Сумски ред, какво да отидем∑ k = 1 ∞ a k

За това приложение lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 ред ∑ k = 1 ∞ (- 16 ) · - 1 2 k се сближават. Сумата е скъпа 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

дупе 1

Като дупе на rozbіzhny ред можете да поставите сумата от геометричната прогресия с по-голям банер, по-нисък: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-a частната сума се определя от виразата S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, като сумата между частите не е ограничена: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Друг пример за ред с произволни числа е сумата от вида ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . За тази сметка n частната сума може да се изчисли като S n = 5 n . Междучастичните суми не са ограничени lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Назначаване 6

Сумата от тази форма е yak ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n +. . . – ce хармониченчислов ред.

Назначаване 7

Сума ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , де с- децисно число, заменено от хармоничен числов ред.

Назначени, разгледани повече, ще ви помогне за усъвършенстването на повече приложения тази задача.

За да завършите уговорката, е необходимо да изравните линията.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k

Diemo по пътя на инверсията. Ако вината се сближат, тогава границата е кльощава. Можете да напишете равно като lim n → + ∞ S n = S и lim n → + ∞ S 2 n = S . След последните се нуждаем от равенство l i m n → ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Навпаки,

S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n

Точно така нередности 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Вземаме предвид, че S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Вираз S 2 n - S n > 1 2 да каже, че lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 е извън обсега. Редица разпръснати.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Необходимо е да се потвърди, че сборът от последователността от числа изгасва при q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Zgіdno с помощта на назначените лица, сумата нчленовете са зависими от формулата S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Yakscho q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Доведохме до това, че числовите редове се сближават.

За q = 1b1+b1+b1+. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суми може да знае формулите S n = b 1 · n , между безкрайно lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . В този вариант редовете се разминават.

Yakscho q = - 1, тогава редът изглежда като b1-b1+b1-. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Често сумите изглеждат като S n = b 1 за несдвоени н, i S n = 0 за момчета н. След като разгледахме този випадок, ние се преосмисляме, че няма пропуски и редица разлики.

За q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Mi донесе, cho номер серия да се разминават.

1. Ред ∑ k = 1 ∞ 1 k s s > 1и се разминават, така че s ≤ 1 .

За s = 1вземаме ∑ k = 1 ∞ 1 k , редовете се разминават.

За с< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,естествено число. Oskіlki ред є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , тогава няма разлика. В допълнение към това, последователността ∑ k = 1 ∞ 1 k s е неописана. Робимо висновок с< 1 .

Необходимо е да се докаже, че редът ∑ k = 1 ∞ 1 k s се сближава, когато s > 1.

Представете си S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s

Да приемем, че 1 (n+1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Представимо равенство за числа, които са естествени и равни на n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Ние взимаме:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Вираз 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Сборът от геометричния прогрес q = 1 2 s - 1 . Zgіdno с vihіdnimi dannym at s > 1, след това 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya и се смесва със звяра 11-12s-1. Очевидно е, че є между и ред є подобен ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Назначаване 8

Ред ∑ k = 1 ∞ a k положително за този човектака че його термини > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Ред ∑ k = 1 ∞ b k променлив знаксякаш знаците на числата са vіdrіznyayutsya. Датско приложение на представите yak ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k ak или ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,. . . .

Ред ∑ k = 1 ∞ b k познат, към това в нов брой числа, отрицателни и положителни.

Друг вариант на реда е последният ред от третия вариант.

Нека го сложим за прибиране на кожата:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

За третия вариант също е възможно да се присвои абсолютен психически комфорт.

Назначаване 9

Редуващият се знак ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно се проваля в тази посока, ако ∑ k = 1 ∞ b k също се спазва да продължи.

Съобщава се, че анализираме цаца от характерни опции

дупе 2

Yakscho ред 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . i 6+3-3 2+3 4+3 8-3 16+. . . изглеждат като подобни, след което правилно въведете това 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Назначаване 10

Редуващият се ред ∑ k = 1 ∞ b k се счита за психически подобен на този тип, тъй като ∑ k = 1 ∞ b k е различен, а редът ∑ k = 1 ∞ b k се счита за подобен.

дупе 3

Отчитаме опцията ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 – 1 2 + 1 3 – 1 4 + . . . . Като вариант е избрана поредицата ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , която е съставена от абсолютни стойности. Тази опция е важна за използване, така че е лесно да се разбере. От тази гледна точка знаем, че редът ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . bude vvazhatisya психически подобни.

Характеристики на подобни редове

Нека анализираме силата на певческите настроения

1. Ако ∑ k = 1 ∞ a k ще се сближи, тогава тата серия ∑ k = m + 1 ∞ a k също се разпознава като такава, че се сближава. Можете да посочите без кой ред мчленовете също се считат за подобни. Във випадку, ако добавим към ∑ k = m + 1 ∞ a k кiлка числа, тогава резултатът, който е viishov, също ще бъде подобен.
2. Yakscho ∑ k = 1 ∞ a k go і sum = С, след това се сближават i серия ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de А- Престой.
3. Как ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k е подобни, sumi Аі Б tezh, то тият ред ∑ k = 1 ∞ a k + b k и ∑ k = 1 ∞ a k - b k също се сближават. Суми доривнюват A+Bі A-Bочевидно.

Определете коя серия да изгасне ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Нека променим ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Редът ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 се счита за подобен, но редът ∑ k = 1 ∞ 1 k s изгасва при s > 1. В зависимост от другата степен ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

дупе 5

Нека редът ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 се сближава.

Вариант на обратим кочан ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Изваждаме сумата ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 и ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Кожената серия е призната за такава, че се доближава до точката на мощност. Частите на реда се сближават, тогава опцията за излизане е същата.

дупе 6

Изчислете как се сближават редовете 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . и изчислете сумата.

Опция за излизане:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Кожените серии се сближават, парчетата са един от членовете на числовата последователност. Vіdpovіdno до третото владение, можем да преброим, scho vihіdny вариант също е подобен. Сумата се изчислява: Първият член от редицата е ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, а стандартът = 0 . 5 , тогава следва ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Първият член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 и знакът на низходящата числова последователност = 1 3 . Вземаме: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Използваме вирази, отримани повече, за да изчислим сумата 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Необходима интелигентност за назначаването, чи е редица подобни

Ако редът ∑ k = 1 ∞ a k є е подобен, тогава k-тиячлен = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ако трябва да вярваме, независимо дали е вариант, е необходимо да не забравяме за неавтентичния ум. Ако не спечелите, редът ще се разпръсне. Ако lim k → + ∞ a k ≠ 0, тогава редът е разнообразен.

След това посочете какво умът е важен, но не е достатъчно. Тъй като равенството lim k → + ∞ a k = 0 печели, то не гарантира, че ∑ k = 1 ∞ a k е подобно.

Нека дадем пример. За хармоничния ред ∑ k = 1 ∞ 1 k, Umoff виконува lim k → + ∞ 1 k = 0 , но редът все още се разминава.

дупе 7

Изчислете ефективността ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.

Нека разгледаме lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → 0 = + ∞ ≠ 0

Межа n-точленът не е добър 0 . Ми донесе, scho tsey ред да се разпръсне.

Как да обозначим zbіzhnіst знак-положителна серия.

Как постоянно да се класираме със зададените знаци, да можем постоянно да броим границите. Tsej razdіl добавен, за да помогне за прибиране на сгънати pіd час vypіshennya priklіv, че zavdan. И, за да означава стойността на положителния знак, той е нисък, ясно е на ум.

За положителен знак ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1, 2, 3, . . . Необходимо е да се изчисли сумата на сумите.

Як поривнюват редиците

Іsnuє kіlka е знак за подравняване на редовете. Mi porіvnyuєmo ред, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, до него, zbіzhnіst yak vіdoma.

Първият знак

∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k - ред с положителен знак. Неравномерност a k ≤ b k е валидна за k = 1, 2, 3, ...Можем да вземем ∑ k = 1 ∞ a k в редицата ∑ k = 1 ∞ b k . Тъй като ∑ k = 1 ∞ a k се разминават, тогава редът ∑ k = 1 ∞ b k може да се приеме като такъв, който се разминава.

Това правило постоянно се потвърждава за съвършенството на равенството и е сериозен аргумент, който ще ви помогне да означавате zbіzhnist. Skladnoshchi може да се крие във факта, че трябва да вземете дупе за porivnyannya можете да знаете далеч от депресия на кожата. За завършване често се избира число според принципа k-тиячлен на dorіvnyuvatitime в резултат на vіdnіmannya pokaznіvіv stаіnіv stаіv nіdnik і znamennik k-тиячленовете са ниски. Приемливо е, че a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 ще бъде по-скъпо 2 – 3 = - 1 . В този случай можете да определите кой ред е необходим за подравняване k-imчлен b k \u003d k - 1 = 1 k, което е хармонично.

За да затворим материала, нека разгледаме подробно няколко типични опции.

дупе 8

Показателно е, че яким е редът ∑ k = 1 ∞ 1 k – 1 2 .

Частички между = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 Неравностите ще бъдат справедливи 1 k< 1 k - 1 2 для k ,яки е естествен. От предишните параграфи разбрахме, че хармоничният ред ∑ k = 1 ∞ 1 k е различен. С първия знак може да се разбере, че крайният вариант е rozbіzhnym.

дупе 9

Показателно е, че chi е ред, подобен или различен ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Чието дупе има нужда от интелигентност, за това lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Сервирайте при вида на неравности 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения к. Редът ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 е подобен, но хармоничният ред ∑ k = 1 ∞ 1 k s се сближава, когато s > 1. Zgidno с първия знак, можем да създадем visnovok, че серия от числа е подобна.

дупе 10

Взначити, яким є ред ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

В този момент можете да определите нуждата от мъдрост. Значителен ред за povnyannya. Например, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . За да определим защо стъпалото е добро, можем да разгледаме последователността (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Членове на последователността ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbishuєtsya до безкрайност. След като се анализират равенствата, е възможно да се определи, че след като се вземе стойността на N = 1619, членовете на последователността > 2. За тази последователност неравенството 1 k ln (ln k) ще бъде валидно< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Още една значка

Да приемем, че ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k са числови редове с положителен знак.

Ако lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , тогава редът ∑ k = 1 ∞ b k се увеличава, i ∑ k = 1 ∞ a k

Ако lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , ако редовете ∑ k = 1 ∞ b k се разминават, тогава ∑ k = 1 ∞ a k също се разминават.

Ако lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , тогава мащабируемостта на мащабирането на поредицата означава мащабиране на мащабирането на другата.

Нека да разгледаме ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k – 1 за други знаци. За подравняване ∑ k = 1 ∞ b k вземете реда ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Значително между: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

С друг знак може да се види, че редът ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, който тече, означава, че вариантът на кочана също се сближава.

дупе 11

Намерете редицата ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Нека анализираме необходимия ум lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, тъй като в този вариант той е победител. С различен знак да вземем редицата ∑ k = 1 ∞ 1 k . Шукаемо между: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Vіdpovіdno, докато насочването е по-голямо от тези, редът, scho да се разпръсне, се разкъсва в vihіdny ред.

трета марка

Нека да разгледаме третия знак за прекъсване.

Да приемем, че ∑ k = 1 ∞ a k и _ ∑ k = 1 ∞ b k са числови редове с положителен знак. Тъй като умът е обратното за първото число a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , тогава ефективността на тази серия ∑ k = 1 ∞ b k означава, че редът ∑ k = 1 ∞ a k също е подобен. В ред ред ∑ k = 1 ∞ a k дърпа зад вас rozbіzhnist ∑ k = 1 ∞ b k .

Знак на д'Аламбер

Да приемем, че ∑ k = 1 ∞ a k е числова поредица с положителен знак. Как lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, тогава нека го разделим.

забележка 1

Знакът на д'Аламбер е справедлив във времена, сякаш между несъответствията.

Ако lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , тогава редът є е подобен, ако lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ тогава е делим.

Ако lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, тогава знакът на д'Аламбер не е полезен и е необходимо да се проведат повече изследвания.

дупе 12

Показателно е, че chi е ред, подобен или различен ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k зад знака на д'Аламбер.

Необходимо е да се преразгледа какво е необходимо, за да спечелите ума. Нека изчислим разстоянието, използвайки правилото на Лопитал: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0

Можем да говорим за това какво печелят умовете. Използвайки знака на д'Аламбер: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Редът е подобен.

дупе 13

Показателно е, че chi е ред от произволно ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Използваме знака на д'Аламбер, за да намерим разликата в редицата: k + ∞ k + 1 k = 1 k + 1 (k + 1)! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1

Otzhe, редица е razbіzhnim.

Радикален знак на Кош

Възможно е ∑ k = 1 ∞ a k да е неположителен ред. Как lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, тогава нека го разделим.

Бележка 2

Ако lim k → + ∞ a k k = 1, тогава този знак не дава необходимата информация - необходимостта от допълнителен анализ.

Tsya знак може да бъде buti vikoristan в дупета, yakі лесно vyznachiti. Vipadok ще бъде характерен само ако член на числовата серия - tse показва величествен вираз.

За да затворим информацията за otriman, нека да разгледаме извадка от характерни примери.

дупе 14

Показателно е, че chi е положителен ред ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k на подобен.

Необходим е ум, за да бъдете уважавани от виконана, парчета lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Гледайки знака, гледайки през окото, можем да приемем lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

дупе 15

Числовият ред се сближава ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Знакът на Vikorist, описан в предходния параграф lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Неразделен знак на Коши

Да приемем, че ∑ k = 1 ∞ a k е положителен ред. Необходимо е да се обозначи функцията на непостоянен аргумент y = f(x), Какво се изпълнява a n = f (n) . Yakscho y = f(x)по-голямо от нула, не се прекъсва и променя на [a; + ∞), където a ≥ 1

Сега времето, което не е ясно, интегралът ∫ a + ∞ f (x) d x є е подобен, тогава редът, който се разглежда, също се сближава. Ако вината се отделят, то в дупето се отделят и редица от тях.

Когато връщате променената функция, можете да прегледате материала, прегледан в предишните уроци.

дупе 16

Разгледайте запаса ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k за осъществимост.

Манталитетът на поредицата се зачита от виконана, тъй като lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Нека разгледаме y = 1 x ln x. Won е по-голям от нула, не прекъсва и се променя на [2; +∞). Първите два параграфа са предварително определени, а на третия следващ има доклад. Ние знаем по-добре: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Печели по-малко за нула на [ 2 ; + ∞) Не е необходимо да се извежда тезата за тези, че функцията се разпада.

Е, функцията y = 1 x · ln x показва признаци на принципа, който сме виждали повече. Ускоряване: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Vіdpovіdno до otrimanih резултати, vyhіdny дупе се разминават, парчета от нездрава интеграция е razbіzhnym.

дупе 17

Разширете редицата ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, тогава Umov се уважава от виконана.

Започвайки от k = 4 , virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ако редът ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 ще се счита за подобен, тогава, според един от принципите на подравняване, серия ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 също ще ви е интересно да отидете. В този ранг можем да посочим, че настоящият вираз също е подобен.

Продължете да доказвате ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Мащабна функция y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 по-голяма от нула, не се прекъсва и се променя на [ 4 ; +∞). Vikoristovuemo знак, описан в предния параграф:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 ( ln 28) 2 = 1 10 и 28 2

В по-къса серия, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , можем да открием, че ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 ) )) 3 също се сближават.

Ознака Раабе

Да приемем, че ∑ k = 1 ∞ a k е редица с положителен знак.

Как lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, след което се сближават.

Датският метод на обозначаване може да бъде победен в този случай, тъй като описаната техника не дава видими резултати.

Doslіdzhennya на абсолютен zbіzhnіst

За останалото приемаме ∑ k = 1 ∞ b k. Положението на Vikorist ∑ k = 1 ∞ b k . Можем да vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh знак, yakі описахме повече. Ако серия ∑ k = 1 ∞ b k се изпълнява, тогава изходната серия е абсолютно подобна.

дупе 18

Продължете поредицата ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 наляво ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Umovu vikonuetsya lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Vikoristovo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i ускорява с друг знак: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Редиците ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 се сближават. Външният ред също е абсолютно подобен.

Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі

Ако редът ∑ k = 1 ∞ b k е различен, тогава алтернативният знак на редуващия се ред ∑ k = 1 ∞ b k е или различен, или психически подобен.

Вместо знака на д'Аламбер и знака на радикала на Коши е възможно да се допълнят висновките около ∑ k = 1 ∞ b k за разширението на модулите ∑ k = 1 ∞ b k . Редиците ∑ k = 1 ∞ b k също се разминават, така че необходимата мисловна осъществимост не печели, така че lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

дупе 19

Обратна променливост 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

модул k-тиячлен на представите ak b k = k! 7 к.

Продължете поредицата ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k на ръба отвъд знака на д'Аламбер: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k се разпръскват като i, like i опция за излизане.

дупе 20

Chi є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) подобно.

Нека да разгледаме необходимата теория на Умов lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Умов не е виконан, така че ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) е поредица от разширения. Границата на булата е нарушена по правилото на Лопитал.

Признаци на психично здраве

Знак на Лайбниц

По този начин стойностите на членовете на знака от следващата серия намаляват b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і inter module = 0 при k → + ∞ , тогава серия ∑ k = 1 ∞ b k тече.

дупе 17

Погледнете ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) за възможността.

Поредица от представяния yak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Необходимостта от умова lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Нека разгледаме ∑ k = 1 ∞ 1 k зад друг знак за изравняване lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Възможно е ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) да се разминават. Редица ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) се сближават след знака на Лайбниц: последователност 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 ( 2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1,. . . промени i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Редица психически се сближават.

Знак на Абел-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k изгасва в тази точка, тъй като ( u k ) не расте и последователността ∑ k = 1 + ∞ v k е ограничена.

дупе 17

Продължете 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . за удобство.

видими

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Нестабилна и последователност (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . ресни (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Редица се сближават.

Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter

Влизане

числово кош д'Аламбер

Разбирането за неизчерпаеми суми всъщност е било в съзнанието на древна Гърция (Евдокс, Евклид, Архимед). Познаването на неизчерпаеми суми се основава на складовия метод на така наречения метод на изчистване, широко победен от старите гръцки фигури на площта на фигурите, obsyagіv til, dozhin тънко изкривен. Така, например, Архимед за изчисляване на площта на параболичен сегмент (тоест фигура, заобиколена от права линия и парабола) знае сумата от неизчерпаемата геометрична прогресия със стандартна 1/4.

Редица независими разбирания на математиката започват да печелят през 17 век. аз Нютон и Г. Лайбниц застосовували редове за решаване на алгебрични и диференциални уравнения. Теорията на редовете през XVIII-XIX век. разработени в роботите на Я. та И. Бернули, Б. Тейлър, К. Маклорен, Л. Ойлер, Ж. д'Аламбер, Ж. Лагранж и др. Суворската теория на редовете е създадена през XIX век. въз основа на разбирането на границите в практиките на К. Гаус, Б. Болцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абел, К. Вайерщрас, Б. Римана и ин.

Актуалността на изследването на този проблем се извежда на бял свят от факта, че той раздели математиците, което позволява версификация на това дали задачата е правилно поставена с точност, достатъчна за практическо използване, се нарича теория на редовете. Навит като вид фино разбиране на математическия анализ се появи като кохерентна поза от теорията на редовете; Такъв лагер е спасен и заразен. В такъв ранг е действителната същност на числовия ред, їх основно разбиране и особеност на реда.

1. История на винарната

.1 Първа гатанка и числова линия

Правилата на аритметиката ни дават възможността да обозначаваме сумата от две, три, три или повече и какъвто и да е крайният набор от числа. И колко dodankiv не са ограничени? Нека tse "neemensha" неяснота, tobto. уведомете ме броя на dodankіv lіchilne.

Познаването на неизчерпаеми суми се основава на складовия метод на така наречения метод на изчистване, широко победен от старите гръцки фигури на площта на фигурите, obsyagіv til, dozhin тънко изкривен. Така, например, Архимед за изчисляване на площта на параболичен сегмент (тоест фигура, заобиколена от права линия и парабола) знае сумата от неизчерпаемата геометрична прогресия със стандартна 1/4.

Mayzhe преди две и половина хиляди години, гръцкият математик и астроном Евдокс Knidskiy zastosovuvav метод "vycherpuvannya", докато областта е достигната. Идеята на този метод се основава на факта, че тялото, което се извършва, разгражда броя на частите или площта на тях и след това ги сгъва заедно. Този метод е разработен от Евклид и Архимед. Очевидно не е имало толкова точно грундиране на метода в роботите на древните математици. До който трябваше да се мине през още две хиляди години път, по който имаше мехури от кръв, опрощения и любопитства.

Axis, например, сякаш отразява един теолог от средната класа за доказателство - ни повече, ни по-малко - основата на Всемогъщия Бог.

Нека го запишем в равни стойности S като неизчерпаема сума

S = 1010101010 ... (1)

„Замяна на дясната част от равновесието на кожите с нула за сумата 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Оставяйки самостоятелно първото допълнение в дясната част (2), обединяваме още едно допълнение за трето, четвърто, пето и т.н. за помощ на лъка. Тоди

S = 1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) + ... = 1 +0 +0 + ... = 1. "

„Точно както от нулата е възможно да се вземе самотата за бажана, тогава е допустимо и допускане на създаването на света от нищото!”

Чи ни чакай с такъв mirkuvannyam? Очевидно не. От гледна точка на съвременната математика, извинението на автора е ясно във факта, че грешките са изписани с разбиране, на което не е дадено назначението (което е същото - „сумата от безкрайния брой допълнения“ ), и да се опита да промени (отваряне на лъка, прегрупиране), легитимността им не беше була грундирана с него.

Най-великите математици на 17-ти и 18-ти век - Исак Нютон (1642-1727), Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716), Брук Тейлър (1685-17) ), Колин Маклорен (1698-1746 Луизеф Ларандж-1698-1746). 1813 г.). Леонард, Ойлер (1707-1783) се откроява с виртуозното майсторство на повода с редовете, като по едно време често разпознава липсата на заземяване на використите в своите приеми. В сто роботи предложения се повтарят многократно за кщалт като това: „Ние показахме, че тези две неизчерпаеми думи са равни, желание и беше невъзможно да го осъществим.“ Vіn zastorіgaє mathematicіv vіd vіd vykoristannya „редове, scho да се разминават“, ако вие сами не започнете dbvіd tsgogo, и само гениалната интуиция защитава йогите vіd nіrnih vysnovkіv; Вярно е, че „пиърсът“ е хванат в капан в новия.

В началото на 19 век става ясна необходимостта от внимателно обосноваване на мощностите на „числовите суми“. През 1812 г. Карл Фридрих Гаус (1777-1865) дава първия знак за успех на сериала, през 1821 г. нашият добър приятел Огюстин Луи Коши (1789-1857) установява основните принципи на съвременната теория на сериите.

.2 По-нататъшно усукване на числовите редове. Четене на формулата за разбиране на числовия ред

Сумирането на неизчерпаеми геометрични прогресии със знак по-малък от 1 е извършено още преди много време (Архимед). Разграничението на хармоничния ред на булата е установено от италианския учен Менголи през 1650 г. Стъпкови редове се появяват в Нютон (1665), като се има предвид, че подреденият ред може да разкрие функция. При чиновниците от XVIII век редица чинове постоянно се броят сред графовете, но далеч не винаги те придават уважение към храната за живота. Точната теория на редовете се основава на работата на Гаус (1812), Болцано (1817) и, nareshti, Koshy, засега се дава да се определи сумата от редовете, които трябва да слязат, а основните теореми са установено. 1821 г. Коши публикува "Курс по анализ в Кралското политехническо училище", който е най-значим за разширяването на новите идеи в областта на математическия анализ през първата половина на 19 век.

„Инструкция за назоваване на неизмерената последователност от килкос

да отиде някой от другите за закона за песента ... Хайде

є сумата от n-първите членове, където n е цялото число. По този начин, при постоянно нарастване на стойността на n, сборът не е близо до границата S, редът се нарича подобен, а сумата е границата на реда. Навпаки, дори ако сумата не се доближи до една и съща граница, редът ще бъде rozbіzhny, а не майка sumi ... ”[От първата част на курса за анализ в Кралското политехническо училище” от О. Коши ( 1821) ( бр.54 т. III, с. 114-116, превод на A.P. Юшкевич}]

.3 Задачи за разбиране на числовия ред и ти, в които вината побеждават

Двуногият Ахил не можеше да помогне на костенурката, сякаш на кочан костенурката беше отпред на новата. Вярно е, нека початковият да види и нека Ахил живее в пъти по-умен за костенурка. Ако Ахил е минал през a, костенурката е минала през a/k, ако Ахил е минал през разстояние, костенурката е минала през a/ и т.н. shorazu mіzh zmagannyami vіdminna vіd zero vіdstan.

В тази апория, престъплението на същата утежнена непоследователност, има още нещо. Да предположим, че в някакъв час Ахил назджена костенурката. Нека запишем пътя на Ахил

та костенурка начин

До пътя на кожата а/, минаван от Ахилес, до пътя на костенурката а/. Така че до момента на звука на Ахил е възможно да преминете през „стиловете на w“ в количество, като костенурка. От другата страна, кожния хребет a/, минаван от костенурката, е възможно да се сравни равна йома с големината на билото с пътя на Ахил. Ale, sche, Ахил е виновен за probigti sche още един vіdrіzok dovzhini a, tobto. vіn може да отиде още един vіdrіzkіv, nizh костенурка. Като много ветрове, преминали покрай останалите, є б, тогава ще вземем

"Стрела". "Стрела". Ако часът и пространството са съставени от неподходящи частици, тогава стрелата, която лети е непокорна, така че кожата отнема неподходящ момент за часа, дори и да заеме собствена позиция, tobto. почивка, а часът е сборът от такива неподходящи моменти.

Тази апория се изправя до непрекъсната величина - като сбор от неизчерпаем брой непоследователни частици.

"Стадион". Нека се втурнат през стадиона с успоредни прави линии от маси с еднаква шведска сила, ейл в противоположни прави линии. Нека ред означава непокорни маси, ред - маси, които се срутват вдясно, а ред - маси, които се срутват вляво (фиг. 1). Сега нека разгледаме masi. като неподходящо. В определен час да премине определена част от пространството. Вярно е, че като неподходящ момент от часа, мина повече от една непоследователна част от пространството, тогава неподходящ момент от часа би бил dilimo, дори по-малко, тогава би било възможно да се раздели непоследователна част от пространството. Сега можем да разгледаме прилива на неподходящи един по един: за два неподходящи момента и час минаха две неопределени части и в същото време две неопределени части бяха взривени, tobto. грешният момент ще се появи по-късно.

На тази апория може да се придаде малко по-различна форма. През същия час t точката ще премине половината от вятъра и целия вятър. Но кожата не е подходяща за момента, часът не е подходящ за частта от пространството, която може да премине за час. Един и същ брой точки е „еднакъв” в обратната посока и същият брой точки е „еднакъв” в тази, тъй като между точките на двете точки е възможно да се установи взаимно недвусмислена видимост. Tsim е установен такъв vіdpovіdnіst между точки vіdіrіzkіv raznoї dovzhina. Доколкото знаете, че неочакваните печалби на света излизат като сбор от неподходящи посещения, тогава мустаците са парадоксални.

2. Zastosuvannya числови серии

.1 Назначаване

Нека бъде дадена некодираната числова последователност

Назначаване 1.1. Числова инструкцияили просто поръчканаречен вираз (сума) ум

Извикват се числа членове на число, - дивили n-тонисък член.

За да зададете поредицата (1.1), достатъчно е да зададете функцията на естествения аргумент на изчислението на i-тия член на серията след i-то число

3 члена от поредицата (1.1) могат да бъдат решени числено приемственост на частни сума de - сборът от първите членове на поредицата, който се нарича н-и частна сума, тогава.

…………………………….

…………………………….

Числовата последователност за неописан растеж на числото може да бъде:

) майки на границата;

) не майка края на границата (границата не е иsnuє или dorіvnyuє neskіchennostі).

Назначаване 1.2. Поредица (1.1) се нарича подобенкато последователност от його частни суми (1.5) може да бъде краят на реда, tobto.

По какъв начин се извиква числото чантасерия (1.1), която е назначена

Назначаване 1.3.Поредица (1.1) се нарича rozbіzhnym,като следствие от його частни суми няма окончателни граници.

Razbіzhny ред не се приписва на една и съща sumi.

В този ранг задачата да се знае сумата от редица неща, които трябва да се извършат (1.1) е равна на изчисляването на интер-последователността на його часткови суми.

.2 Основните степени на числовия ред

Властите на сбора от крайния брой на dodankivs се оспорват от властите последователно, tobto. сума от неограничен брой dodankiv. Така че в момента на крайния брой dodankiv їx е възможно да ги групирате в произволен ред, без значение колко сумата не се променя. Іsnuyut редове, които се сближават (психически сходни), за тези, като например да сте показали на Роман Георг Фридрих Бернхард, променяйки реда на последователност на техните членове, можете да повишите сумата на ред с равен на това число и да създадете rozbіzhny ред .

Пример 2.1.Нека разгледаме няколко гледни точки, които се разминават

Групирайки термини от йога по двойки, ние вземаме подобна серия от числа от сумата, която е равна на нула:

От другата страна, групирайки първия член по двойки, започвайки от другия член, също вземаме подобен ред, но и от чантата, които са по-единични:

Номерата на редовете могат да бъдат дякони на властта, сякаш позволяват на децата да работят с тях, като с крайни суми. Така че можете да ги умножите по числа, да ги добавите термин по термин и да ги видите. Могат да се обединят в група, независимо дали са складове, да стоят на стража.

Теорема 2.1.(Необходимите признаци за рентабилност са ниски).

Ако редът (1.1) се сближи, тогава пълният член е равен на нула за неограничен растеж от n, тогава.

Доказателството на теоремата е очевидно от факта, че и това

S е сборът от редицата (1.1), тогава

Умова (2.1) - необходима, но недостатъчно умствена за успеха на сериала. Тоест, ако последният член на редицата достигне нула при, тогава това не означава, че редът се сближава. Например за хармоничния ред (1.2) вината се разминават.

Последица(Достатъчен знак за rozbіzhnostі ниска).

Yakshcho zagalny член са ниски не прагне нула на, tsey серия да се разпръсне.

Мощност 2.1.Приликата или rozbіzhnіst на поредицата не се променя, сякаш по достатъчен ред за премахване от новия, добавяне към новия, пренареждане на броя на членовете в новия последен (ако броят на членовете се промени за ред, можете да промените сумата).

Доказателството, че редът (1.1) и неговият излишък се сближават или разминават едновременно, е ясно.

Мощност 2.2.Подобен ред може да се умножи по число, така че редът (1.1) да се сближи, ако сборът S и c е число, тогава

Доказателство за красноречиви изказвания, че справедливостта е справедлива

Мощност 2.3.Подобни редове могат да се сгъват термин по термин и да се виждат, tobto. като ред,

сближават се,

се сближават, че її сума dorivnyuє tobto.

Потвърждението е видно от мощностите между последните суми, tobto.

Знак за подравняване

Дайте ми два положителни реда

и се бори с всички умове n=1,2,...

Todі: 1) zі zbіzhnіstі ред (3.2) nіd zbіzhnіstі ред (3.1);

) от дивергенцията на редицата (3.1) следващата променливост на редицата (3.2).

доказателство. 1. Нека редът (3.2) се сближи и його сумата е по-скъпа B. Последователността от частични суми на реда (3.1) е неизменим брой животни, т.е.

Само от силите на такива поредици, тогава може да има граница между тях. ред (3.1) се сближава.

Нека редовете (3.1) се разминават. И така, ако редът (3.2) се сближава, тогава от точка 1, посочена по-горе, поредицата се сближава, така че нашите умове могат да бъдат заменени. Отново редовете (3.2) също се разминават.

Tsya е знак за ръчно zastosovuvat до назначаването на zbіzhnostі ryadіv, pіvnyuyuchі їх іz редове, zbіzhіnі yah vzhe vіdoma.

Знак на д'Аламбер

Тоди: 1) за q< 1 ряд (1.1) сходится;

) за q > 1 серия (1.1) се разминават;

) за q = 1 е невъзможно да се каже нищо за рентабилността (1.1), изисква се необходимите допълнителни изследвания.

уважение:Редът (1.1) ще се отклони по този начин, ако

Знак на Кош

Нека членовете на положителния ред (1.1) са такива, че има граница

Тоди: 1) за q< 1 ряд (1.1) сходится;

) за q > 1 серия (1.1) се разминават;

3) при q = 1 рентабилността е ниска (1.1), нищо не може да се каже, изисква се допълнително проследяване.

Интегрален знак Коши - Маклорен

Нека функцията f(x) бъде прекъсната без прекъсване

Тогава редът и непоследователният интеграл се сближават и разминават едновременно.

.3 Задача

Числовите редове са в застой в математиката и в други науки. Бих искал да донеса клонче от примери за такова vikoristannya.

Например, на doslіdzhennya на силата на структурите на породите Ulamkovy. Всъщност понятието „структура“ беше значително разширено, за да характеризира светските сили на зърната. В същото време понятието "структура" в петрографията не съвпада с понятието "структура" в кристалографията, структурната геология и други науки за речта на Будов. В останалото структурата е по-разбираема за текстурата в петрографията и показва начина на запълване на пространството. За да приемем, че „структурата“ е лесна за разбиране, тогава такива структури трябва да се вземат предвид без промени: вторичните и първичните структури на текстурата; кристални, химически, заместващи (роза, прекристализация тънко), деформационни структури, ориентация, излишни структури и други. Ето защо тези "структури" се наричат ​​"хибни структури".

Структура - целият от безличните структурни елементи, който се характеризира с големината на зърната и yogo kіlkіsnimi spіvvіdnennymi.

При извършване на специфични класификации се извикват линейните параметри на зърното от последователността.

въпреки че оценките за широчина се определят чрез параметри на майдан (ширина). Tsya sledovnіst mozhe znachnu dovzhina аз няма да бъде. Започнете да говорите само за размяната на параметри, назовавайки максималните (макс.) и минималните (мин.) стойности на размера на зърното.

Едно от преките представяния на P4 е различен числов ред, който ще бъде присвоен като по-висока последователност и вместо (?) се поставя знакът sumi (+). Куп от всички последователности се комбинират с равни елементи и сгъване на тяхната площ. Todi maєmo последователност:

Вираз означава, че районът умира, че заема всички перизи на тихи зърна i, разширяване на някакъв вид дървета.

Тази особеност на зърната дава възможност да се извърши числен анализ на изваждащите свойства. Първо, параметърът може да се използва като стойност на координатната ос i, такъв ранг ще бъде действителната графика S = f (l). По друг начин последователността (RSl) 1 може да бъде класирана, например, чрез промяна на коефициентите, в резултат на това серия

Самата поредица се нарича структура на дадената резекция на породата, а значението на понятието е „структура“. Параметърът є е елементът на конструкцията, а параметърът k= е дължината на конструкцията. Зад стълба n = k. Подобно проявление на структурата позволява изравняване на различните структури помежду си.

И така, Бутусов Кирило Павлович създаде проявление на „резонанса на болестта на битката“, въз основа на което формулира „закона на планетарните периоди“, след определен период от време планетите съставляват числовата серия на Фибоначи и Лукас и Довив, че „законът за планетарните времена” на Йохан Тициус е след „резонанса на удара на вятъра (1977). Веднага, след като показа „златния разрез“, розите имат ниски други параметри на телата на системата Соняч (1977). Във връзка с тази работа, създаването на "златната математика" - нова бройна система, базирана на числото на Фидий (1.6180339), е по-адекватно на задачите на астрономията, биологията, архитектурата, естетиката, просто теорията на музиката.

От историята на астрономията става ясно, че И. Тиций, немски астроном от 18-ти век, с чиято помощ поредицата на Фибоначи познава редовността на този ред сред планетите от системата Sony.

Имаше обаче едно нещо, което изглеждаше супер ясно за закона: нямаше планета между Марс и Юпитер. Бдителността на охраната за tsієyu dilyanka pіdnebіnnya доведе до откриването на пояса от астероиди. Това се случи след смъртта на Тиций на кочана на 19 век. Редица победители на Фибоначи са широко използвани: за това, освен това, да представят архитектониката и живите същества, изкуствените спори и живота на галактиките. Факти – доказателство за независимостта на числовия ред от умове ще покажа, което е един от признаците на тази универсалност.

Криптографията е наука за математическите методи и сигурността на поверителността (невъзможност за четене на информация от трети страни) и автентичността (сила и коректност на авторството, както и невъзможност за авторство) на информацията. По-важни от днешните криптографски системи са победоносни, или стрийминг, или блокови алгоритми, базирани на различни видове заместващи и пермутационни шифри. За съжаление, практически всички алгоритми, които са победители в стрийминг криптосистеми, ориентирани към викторизация в руски и поръчкови системи, както и в някои случаи за защита на информация от търговски характер, е съвсем естествено да ги направим тайни и недостъпни за признание. Единствените стандартни алгоритми за криптиране на поток са американският стандарт DES (режим CFB и OFB) и руският стандарт GOST 28147-89 (режим на игри). Когато алгоритмите за криптиране на cimu поток, yakі tsikh стандарти, са класифицирани.

Основата на функционирането на поточните криптосистеми се формира от генераторите на vipad или псевдо-vipad последователности. Нека да разгледаме хранителния доклад.

Псевдо-фаленарни последователности

Тайните ключове са в основата на криптографските трансформации, които, следвайки правилото на Керкхоф, сигурността на добрата криптираща система се счита за по-малка от секретността на ключа. Въпреки това, на практика, създаването, rozpodіl, че zberіgannya ключове рядко са били сгъваеми технически, дори скъпи zavdannya. Основният проблем на класическата криптография винаги е бил свързан със сложността на генерирането на непрехвърлими двойни последователности с голямо дълголетие от генерирането на кратък двоен ключ. За її vyshennya, генераторите на две псевдо-випарни последователности са широко оправдани. Настоящият напредък в създаването и анализа на тези генератори е достигнал повече от шестдесет години на кочан. Поради тази причина по този начин се анализират правилата за премахване на ключове и генерирането на тяхна база на стари псевдонасилствени поредици, които печелят от криптографските системи за преобразуване на известия в криптиране.

Получени програмно от ключа, vipadkovі chi pseudovipadkovі серия от числа се наричат ​​на жаргона на държавните криптографи гама, след името y - букви от гръцката азбука, които в математическите записи се обозначават vipadkovі стойност. Струва си да се отбележи, че книгата „Непознатите на моста“, написана от адвоката на Абел, има термина гама, който фахивците на ЦРУ определиха като коментар - „правилно ли е музиката?“, че петте дузини каменна смрад не са познавали йога сенсу. Otrimannya, че репликацията на изпълнението на десните вертикални редове е опасна, сгъваема и режийна. Физическото моделиране на вибрационното поведение в допълнение към такива физически явления, като радиоактивни вибрационни вибрации, шум от изстрел в електронна лампа или тунелна сонда на проводников ценеров диод, не дава правилни вибрационни процеси. Искайки да се изгубите в далечината, заставете ги при генерирането на ключове, например в криптографското руско приложение KRYPTON. Следователно, замяната на физически процеси за генериране на програми за EOM, въпреки че те се наричат ​​генератори на случайни числа, или всъщност те виждат детерминираните числа на серията, е по-малко вероятно те да бъдат випадкови за своето доминиране . В тях е важно да се научите, знаейки закона на формоването, но без да знаете ключа в гледането на умовете на кочаните, нищо не може да промени числовите серии на випадкови, nibi печели изхвърлянето на идеалните каменни четки. Възможно е да се формулират три основни възможности за криптографски стабилен генератор на псевдореципрочни последователности:

Периодът на гами може да бъде направен чудесен за криптиране на спомен за различни времена.

Гама може да бъде значително прекалена. Tse означава, че ако имате тип генератор и парче гами, тогава е невъзможно да прехвърлите атаката след тази част от битката за по-доброто x. Ако станете криптоаналитик у дома, сякаш сте част от гами, все още не можете да разберете какво да промените или да стъпите след нея.

Generuvannya gami не е виновна, но pov'yazane с големи технически и организационни трудности.

Фибоначи последователности

Класът Cicavia от генератори на випадкови числа беше многократно пронизан от богата математика на цялата аритметика, създадена от Джордж Марсалия и Ариф Зейман. Генераторите на които са базирани на най-новите последователности на Фибоначи. Класически пример за такава последователност (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). За виното на първите два члена, кожата на напредващия член е сборът от двата предни. Ако вземете останалата цифра от номера на кожата в последователността, тогава ще видите последователността от числа (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) , тогава, vikoristovuyuchi tsey масив, можете да създадете генератор на числа на Фибоначи от zapiznennyam, където се добавят не susіdnі, а далечни числа. Марсалия и Зейман предложиха да се въведе в схемата на Фибоначи „трансферен бит“, който може да има стойност от 0 или 1. zastosovuvanih nі конгруентни генератори. Зад фигуративния вираз на Марсалия, генераторите от този клас, може да се види колко приглушени са вибрациите. „Вземате хиляда бита от vipadkovennaya четиридесет хиляди бита и генерирате дълга последователност от vipadkovy числа.“ Самият велик период обаче не е достатъчен интелектуално. Слабостите на шума са важни за разкриване и аналитиците трябва да застосовват бърникането с анализа на последователностите, за да се видят песните на редовност, като прикачване към голям масив от числа.

Висновки

Редовете се използват широко в математиката и її допълнения, теоретични изследвания, както и при апроксимирането на числени решения на задачи. Много числа могат да бъдат записани като специални редове, с помощта на които можете ръчно да изчислите техните приблизителни стойности с необходимата точност. Методът за полагане на лавата е ефективен метод за усукване на функции. Vіn zastosovyatsya за изчисляване на приблизителните стойности на функциите, за изчисляване и оценка на интеграли, за решаване на различни равенства (алгебрични, диференциални, интегрални).

Списък с референции

1. Шилов Г.Й. Математически анализ. Функции на една змия. Ч. 1-2 - М: Наука, 1969

Майков Е.В. Математически анализ. Номера на редовете / Е.В. Майков. - 1999 г

.“Курс по анализ в Кралското политехническо училище”

О. Коши (1821) (No 54 т. III, стр. 114-116, превод А. П. Юшкевич)

История на математиката от най-новите часове на кочана на 19 век (ред. Юшкевич А.П., том I)

Четец от историята на математиката (част II) (ред. Юшкевич А.П.)

Vishcha математика: Zagalniy курс: Navch. - 2-ри вид, / A.I. Яблонска, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина та ин; За заг. изд. S.A. Самал. - Мн: Виш. училище, 2000. - 351 с.

Марков Л.М., Роздумович Г.П. Страхотна математика. Част 2. Основи на математическия анализ и елементи на диференциални уравнения. - Минск: Амалфея, 2003. - 352 с.

8. Макаров В.П. Предоставяне на теоретична геология. 7. Елементи на теорията на конструкциите. / Актуални проблеми и тенденции в науката, транспорта, строителството и образованието 2007. Одеса, Черноморя, 2007. Т.19. с. 27 - 40.

9. Половинкина Ю. Ир. Структури на планинските пори. Магматични скали; Част 2: Обсадни породи; Част 3 Метаморфни скали. - М: Держгеолиздат, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Научно-методическа комплексна дисциплина "Математика". Раздел 10 "Редове". Теоретични основи. Методически указания за ученици. Материали за самостоятелна работа на учениците. - Уфа: Видавничество УДНТУ, 2007. - 113 с.

13. http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Галуев Г.А. Математически основи на криптологията: Основно и методологическо ръководство. Таганрог: Изглед на TRTU 2003.-120 стр.

Обучение

Имате ли нужда от допълнителна помощ с помощта на тези, които са?

Нашите учители ще консултират или предоставят уроци по теми за вас.
Подайте заявлениеот назначените от тях директно, за да разберете за възможността за приемане на съвет.